ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

а) Пусть $P$ — середина ребра $A_1{B}_1$. Тогда $A_{1}P\parallel MB$ (так как $A_1{B}_1\parallel AB$) и $A_{1}P=MB=\frac{1}{2}AB$. Четырёхугольник $A_{1}MBP$ с параллельными и равными противоположными сторонами $A_{1}P$ и $MB$ — параллелограмм, поэтому $BP\parallel A_{1}M$.

Пусть $T$ — середина ребра $A_1{D}_1$, а $Z$ — центр куба (точка пересечения его диагоналей). При центральной симметрии относительно $Z$ куб переходит в себя: $B_1\to D$, $A_1\to C$, $D_1\to B$. Поэтому середина $T$ ребра $A_1{D}_1$ переходит в середину $K$ ребра $CB$. Значит, $Z$ — середина отрезков $B_{1}D$ и $TK$. Четырёхугольник $B_{1}TDK$, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм, поэтому $DT\parallel B_{1}K$.

Отрезок $PT$ — средняя линия треугольника $A_1{B}_1{D}_1$, поэтому $PT\parallel B_1{D}_1$ и $PT=\frac{1}{2}{B}_1{D}_1$. Четырёхугольник $B{B}_1{D}_{1}D$ — прямоугольник, $B_1{D}_1\parallel BD$. Значит, $PT\parallel BD$, и точки $B$, $D$, $T$, $P$ лежат в одной плоскости $\beta$. В ней $BDTP$ — трапеция с основаниями $BD$ и $PT=\frac{1}{2}BD$, поэтому её боковые стороны $BP$ и $DT$ не параллельны. Следовательно, не параллельны и прямые $A_{1}M$ и $B_{1}K$.

Плоскость $\beta$ проходит через $B$ и содержит прямую $BP\parallel A_{1}M$, а также прямую, проходящую через $B$ параллельно $DT$, то есть параллельно $B_{1}K$. Через точку проходит единственная плоскость, параллельная двум непараллельным прямым: та, что содержит прямые, проведённые через эту точку параллельно данным. Поэтому $\beta =\alpha$, и плоскость $\alpha$ проходит через точку $D$, что и требовалось доказать.

б) Плоскость $\alpha$ пересекает нижнюю грань по отрезку $BD$, грань $A{A}_1{D}_{1}D$ — по $DT$, верхнюю грань — по $TP$, грань $A{A}_1{B}_{1}B$ — по $PB$. Значит, сечение — трапеция $BDTP$ с основаниями $BD$ и $PT$.

Найдём её стороны:

$$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=2\sqrt{2},PT=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}.$$

Из прямоугольных треугольников $B{B}_{1}P$ и $D{D}_{1}T$ (катеты $2$ и $1$):

$$BP=DT=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}.$$

Боковые стороны равны, трапеция равнобедренная. Проведём её высоты $P{P}^{\prime }$ и $T{T}^{\prime }$ к основанию $BD$. Тогда $P^{\prime }{T}^{\prime }=PT$ и

$$B{P}^{\prime }=\frac{BD-PT}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

По теореме Пифагора для треугольника $B{P}^{\prime }P$:

$$P{P}^{\prime }=\sqrt{B{P}^2-B{P}^{\prime 2}}=\sqrt{5-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.$$

Площадь сечения:

$$S_{BDTP}=\frac{BD+PT}{2}\cdot P{P}^{\prime }=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2}=4,5.$$

Ответ: б) $4,5$.