В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины рёбер AB и SD соответственно. а) Докажите, что прямая MK… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $A B$ и $S D$ соответственно.

а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $S B C$ .

б) Найдите высоту пирамиды, если $A B = 12$ , а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $6 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Отрезок MK, его проекция MK′ и прямая BQ

а) Пусть $Q$ — середина ребра $S C$ . Тогда $K Q$ — средняя линия треугольника $S D C$ :

$K Q ∥ D C, K Q = \frac{1}{2} D C .$

$A B C D$ — квадрат, поэтому $A B ∥ D C$ , а так как $M$ — середина $A B$ , то $M B ∥ D C$ и $M B = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C$ .

Значит, $K Q ∥ M B$ и $K Q = M B$ . Четырёхугольник $K QB M$ с параллельными и равными противоположными сторонами — параллелограмм, поэтому $M K ∥ B Q$ .

Прямая $B Q$ лежит в плоскости $S B C$ , а $M K$ в ней не лежит (точка $M$ прямой $A B$ не совпадает с $B$ — единственной общей точкой прямой $A B$ и плоскости $S B C$ ). По признаку параллельности прямой и плоскости $M K ∥ (S B C)$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — центр основания. Пирамида правильная, поэтому $S O ⊥ (A B C)$ .

Опустим перпендикуляр $K K^{'}$ на плоскость основания. Прямые $K K^{'}$ и $S O$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны, и точка $K^{'}$ лежит на отрезке $O D$ . Так как $K$ — середина $S D$ , отрезок $K K^{'}$ — средняя линия треугольника $S O D$ :

$O K^{'} = K^{'} D, K K^{'} = \frac{1}{2} S O .$

Отрезок $M K^{'}$ — проекция $M K$ на плоскость основания, поэтому угол между прямой $M K$ и плоскостью основания равен $∠ K M K^{'} = 6 0^{\circ}$ .

Найдём $M K^{'}$ из треугольника $M B K^{'}$ . Диагональ квадрата $B D = 122$ , точка $K^{'}$ — середина $O D$ , поэтому

$B K^{'} = B O + O K^{'} = \frac{1}{2} B D + \frac{1}{4} B D = \frac{3}{4} B D = 92 .$

Кроме того, $M B = 6$ и $∠ M B K^{'} = ∠ A B D = 4 5^{\circ}$ . По теореме косинусов:

$M K^{'2} = M B^{2} + B K^{'2} - 2 \cdot M B \cdot B K^{'} \cdot cos 4 5^{\circ} = 36 + 162 - 2 \cdot 6 \cdot 92 \cdot \frac{2}{2} = 198 - 108 = 90,$

$M K^{'} = 310 .$

Треугольник $K K^{'} M$ прямоугольный с прямым углом $K^{'}$ , поэтому

$K K^{'} = M K^{'} \cdot tg 6 0^{\circ} = 310 \cdot 3 = 330, S O = 2 K K^{'} = 630 .$

Ответ: б) $630$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15