Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2017 развёрнутое

Ребро куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равно 6. Точки $K,$ $L$ и $M$ — центры граней $A B C D,$ $A A_{1} D_{1} D$ и $C C_{1} D_{1} D$ соответственно.

а) Докажите, что $B_{1} K L M$ — правильная пирамида.

б) Найдите объём $B_{1} K L M .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Центр грани квадрата — середина его диагонали. Поэтому $K$ — середина $A C$ , $L$ — середина $A D_{1}$ , $M$ — середина $C D_{1}$ .

Отрезки $A C$ , $A D_{1}$ , $C D_{1}$ , $B_{1} A$ , $B_{1} C$ , $B_{1} D_{1}$ — диагонали граней куба, все они равны $62$ . Значит, у тетраэдра $B_{1} A D_{1} C$ все рёбра равны, и все его грани — правильные треугольники со стороной $62$ .

Отрезки $B_{1} K$ , $B_{1} L$ , $B_{1} M$ — медианы правильных треугольников $A B_{1} C$ , $A B_{1} D_{1}$ , $C B_{1} D_{1}$ с одной и той же стороной, поэтому

$B_{1} K = B_{1} L = B_{1} M = \frac{6 2 \cdot 3}{2} = 36 .$

Отрезки $K L$ , $L M$ , $M K$ — средние линии правильного треугольника $A D_{1} C$ , поэтому каждый равен половине его стороны: $K L = L M = M K = 32$ . Треугольник $K L M$ правильный.

Опустим перпендикуляр $B_{1} H$ на плоскость $K L M$ . Прямоугольные треугольники $B_{1} H K$ , $B_{1} H L$ , $B_{1} H M$ имеют общий катет $B_{1} H$ и равные гипотенузы, поэтому $H K = H L = H M$ . Значит, $H$ — центр описанной окружности правильного треугольника $K L M$ , то есть его центр. В основании пирамиды $B_{1} K L M$ лежит правильный треугольник, а высота проходит через его центр, следовательно, пирамида правильная, что и требовалось доказать.

б) Плоскость $K L M$ совпадает с плоскостью $A D_{1} C$ . Найдём расстояние от $B_{1}$ до этой плоскости.

Докажем, что $B_{1} D ⊥ (A D_{1} C)$ . Диагонали квадрата $A B C D$ перпендикулярны: $A C ⊥ B D$ ; кроме того, $A C ⊥ B B_{1}$ , так как $B B_{1} ⊥ (A B C)$ . Значит, $A C ⊥ (B B_{1} D_{1} D)$ и $A C ⊥ B_{1} D$ . Аналогично $A D_{1} ⊥ A_{1} D$ как диагонали квадрата $A A_{1} D_{1} D$ и $A D_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ , так как $A_{1} B_{1} ⊥ (A A_{1} D_{1} D)$ . Значит, $A D_{1} ⊥ (A_{1} B_{1} C D)$ и $A D_{1} ⊥ B_{1} D$ . Прямая $B_{1} D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A C$ и $A D_{1}$ плоскости $A D_{1} C$ , поэтому $B_{1} D ⊥ (A D_{1} C)$ .

Пусть $H$ — точка пересечения $B_{1} D$ с плоскостью $A D_{1} C$ ; тогда $B_{1} H$ — высота пирамиды $B_{1} K L M$ . Точки $D_{1}$ и $K$ лежат и в плоскости $A D_{1} C$ , и в плоскости $B B_{1} D_{1} D$ , поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $D_{1} K$ , и $H = B_{1} D \cap D_{1} K$ .

В прямоугольнике $B B_{1} D_{1} D$ отрезки $D K$ и $B_{1} D_{1}$ параллельны, причём $D K = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} B_{1} D_{1}$ . Треугольники $H D K$ и $H B_{1} D_{1}$ подобны (вертикальные углы при $H$ и накрест лежащие углы при параллельных прямых), поэтому

$\frac{D H}{H B _{1}} = \frac{D K}{B _{1} D _{1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow B_{1} H = \frac{2}{3} B_{1} D .$

Диагональ куба $B_{1} D = 63$ , значит, $B_{1} H = 43$ .

Площадь правильного треугольника $A D_{1} C$ и площадь треугольника $K L M$ , образованного его средними линиями (подобного с коэффициентом $\frac{1}{2}$ ):

$S_{A D_{1} C} = \frac{( 6 2 ) ^{2} 3}{4} = 183, S_{K L M} = \frac{1}{4} S_{A D_{1} C} = \frac{9 3}{2} .$

Объём пирамиды:

$V_{B_{1} K L M} = \frac{1}{3} \cdot S_{K L M} \cdot B_{1} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{9 3}{2} \cdot 43 = 18.$

Ответ: б) $18$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15