ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — конусы

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр основания конуса. Так как $AC$ — диаметр, $O$ — середина $AC$. Высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания.

Точка $S$ проецируется на плоскость $ABC$ в точку $O$, поэтому $OM$ — проекция $SM$ на эту плоскость, и угол между прямой $SM$ и плоскостью $ABC$ равен $\angle SMO$.

Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр, поэтому он прямой: $AB\perp BC$. Точки $O$ и $M$ — середины сторон $AC$ и $BC$, значит, $OM$ — средняя линия треугольника $ABC$:

$$OM\parallel AB,OM=\frac{1}{2}AB.$$

Отсюда $OM\perp BC$.

Образующие конуса равны: $SB=SC$. В равнобедренном треугольнике $SBC$ медиана $SM$ является высотой, поэтому $SM\perp BC$.

Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $OM$ и $SM$, значит, по признаку $BC\perp (SOM)$.

Проведём в прямоугольном треугольнике $SOM$ (прямой угол $O$) высоту $OH$ к гипотенузе $SM$; точка $H$ лежит на отрезке $SM$. Тогда $OH\perp SM$, а также $OH\perp BC$, так как $OH$ лежит в плоскости $SOM$. Прямые $SM$ и $BC$ пересекаются и лежат в плоскости $SBC$, поэтому $OH\perp (SBC)$.

Значит, $MH$ — проекция $OM$ на плоскость $SBC$, и угол между прямой $OM$ и плоскостью $SBC$ равен $\angle OMH=\angle SMO$.

Параллельные прямые образуют с плоскостью равные углы. Так как $AB\parallel OM$, угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$ равен $\angle SMO$, то есть углу между прямой $SM$ и плоскостью $ABC$, что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{100-64}=6,OM=\frac{AB}{2}=3.$$

По пункту а) угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$ равен $\angle SMO$, поэтому $\angle SMO=60^{\circ }$. Из прямоугольного треугольника $SOM$:

$$\mathrm{tg}\angle SMO=\frac{SO}{OM}\Rightarrow SO=OM\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=3\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $3\sqrt{3}$.