В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD:DC=SE:EB=1:3… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ с основанием $A B C$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $A C$ и $S B$ так, что $A D : D C = S E : E B = 1 : 3.$ На продолжении ребра $S C$ за точку $S$ отмечена точка $O .$ Прямые $O D$ и $O E$ пересекают рёбра $A S$ и $B C$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $C F = 2 F B .$

a) Докажите, что отрезки $D E$ и $P F$ пересекаются.

б) Найдите отношение $A P : A S .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Прямая $O E$ лежит в плоскости $S B C$ (точка $O$ лежит на прямой $S C$ , точка $E$ — на $S B$ ), а точка $D$ ребра $A C$ , отличная от $C$ , этой плоскости не принадлежит. Поэтому точки $O$ , $D$ , $E$ не лежат на одной прямой и задают плоскость $O D E$ . Точка $P$ лежит на прямой $O D$ , точка $F$ — на прямой $O E$ , значит, обе они лежат в плоскости $O D E$ . Итак, точки $D$ , $E$ , $P$ , $F$ лежат в одной плоскости.

Выясним взаимное расположение точек. В плоскости $S A C$ точка $S$ лежит между $O$ и $C$ , поэтому $O$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $A S$ . Точка $D$ лежит на отрезке $A C$ и отлична от $A$ , поэтому $D$ и $C$ — по одну сторону от $A S$ . Значит, $O$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $A S$ , и отрезок $O D$ пересекает эту прямую. Точка пересечения — это $P$ , поэтому $P$ лежит на отрезке $O D$ .

Аналогично в плоскости $S B C$ : точки $O$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $S B$ , а точка $F$ отрезка $B C$ , отличная от $B$ , — по одну сторону с $C$ . Значит, отрезок $O F$ пересекает прямую $S B$ в точке $E$ , то есть $E$ лежит на отрезке $O F$ .

Рассмотрим треугольник $O D F$ (точка $F$ не лежит в плоскости $S A C$ , содержащей прямую $O D$ , поэтому треугольник невырожденный). Точка $P$ лежит на стороне $O D$ , точка $E$ — на стороне $O F$ . Так как $E$ лежит между $O$ и $F$ , а $P$ — на отрезке $O D$ , точки $P$ и $F$ находятся по разные стороны от прямой $D E$ . Так как $P$ лежит между $O$ и $D$ , а $E$ — на отрезке $O F$ , точки $D$ и $E$ находятся по разные стороны от прямой $P F$ . Значит, каждый из отрезков $D E$ и $P F$ пересекает прямую, содержащую другой, то есть отрезки $D E$ и $P F$ пересекаются (это две чевианы треугольника $O D F$ из разных вершин), что и требовалось доказать.

б) Точки $O$ , $E$ , $F$ лежат на одной прямой и находятся на прямых $S C$ , $S B$ , $B C$ — сторонах треугольника $S B C$ . По теореме Менелая для треугольника $S B C$ и прямой $O F$ :

$\frac{S O}{O C} \cdot \frac{C F}{F B} \cdot \frac{B E}{E S} = 1.$

По условию $C F : F B = 2 : 1$ , а из $S E : E B = 1 : 3$ получаем $B E : E S = 3 : 1$ :

$\frac{S O}{O C} \cdot 2 \cdot 3 = 1 \Rightarrow \frac{S O}{O C} = \frac{1}{6} .$

Точки $P$ , $O$ , $D$ лежат на одной прямой и находятся на прямых $A S$ , $S C$ , $C A$ — сторонах треугольника $S A C$ . По теореме Менелая для треугольника $S A C$ и прямой $O D$ :

$\frac{A P}{P S} \cdot \frac{S O}{O C} \cdot \frac{C D}{D A} = 1.$

Из $A D : D C = 1 : 3$ получаем $C D : D A = 3 : 1$ :

$\frac{A P}{P S} \cdot \frac{1}{6} \cdot 3 = 1 \Rightarrow \frac{A P}{P S} = 2.$

Значит, $A P = 2 P S$ , $A S = A P + P S = 3 P S$ , и

$A P : A S = 2 : 3.$

Ответ: б) $2 : 3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15