ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Разбор — 3 балла

а) Отрезок $AC$ — диаметр, поэтому вписанный угол $ABC$, опирающийся на него, прямой. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит против угла $30^{\circ }$ и равен половине гипотенузы:

$$AC=2AB=2\sqrt{2},BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}.$$

Проведём через точку $A$ прямую, параллельную $BC$; она второй раз пересекает окружность основания в точке $B^{\prime }$. Углы $B^{\prime }AC$ и $ACB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $A{B}^{\prime }$ и $BC$ и секущей $AC$: $\angle B^{\prime }AC=30^{\circ }$. Угол $A{B}^{\prime }C$ прямой, так как опирается на диаметр. В прямоугольном треугольнике $A{B}^{\prime }C$ катет $B^{\prime }C$ лежит против угла $30^{\circ }$:

$$B^{\prime }C=\frac{AC}{2}=\sqrt{2},A{B}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2-B^{\prime }{C}^2}=\sqrt{6},A{B}^{\prime }\perp B^{\prime }C.$$

Образующая $C{C}_1$ перпендикулярна плоскости основания. Поэтому $B^{\prime }{C}_1$ — наклонная к этой плоскости, а $B^{\prime }C$ — её проекция. Прямая $A{B}^{\prime }$ лежит в плоскости основания, проходит через основание наклонной и перпендикулярна проекции $B^{\prime }C$. По теореме о трёх перпендикулярах $A{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}_1$.

Треугольник $B^{\prime }C{C}_1$ прямоугольный с прямым углом $C$, поэтому

$$B^{\prime }{C}_1=\sqrt{B^{\prime }{C}^2+C{C}_1^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}.$$

Треугольник $A{B}^{\prime }{C}_1$ прямоугольный с прямым углом $B^{\prime }$ и равными катетами $A{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}_1=\sqrt{6}$. Значит, он равнобедренный и $\angle B^{\prime }A{C}_1=45^{\circ }$.

Прямые $A{B}^{\prime }$ и $BC$ параллельны, поэтому угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен углу между $A{C}_1$ и $A{B}^{\prime }$, то есть $45^{\circ }$, что и требовалось доказать.

б) Радиус основания равен половине диаметра, высота цилиндра — образующей:

$$r=\frac{AC}{2}=\sqrt{2},h=C{C}_1=2.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 2\cdot 2=4\pi .$$

Ответ: б) $4\pi$.