В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отмечены середины M и N… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2024 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отмечены середины $M$ и $N$ ребер $A_{1} C_{1}$ и $B C$ соответственно.

а) Докажите, что плоскость $(A B_{1} M)$ делит отрезок $A_{1} N$ в отношении 2:3, считая от вершины $A_{1} .$

б) Найдите объем пирамиды $A M N B_{1},$ если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 4.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $K$ — середина ребра $B_{1} C_{1}$ . Грань $B B_{1} C_{1} C$ — прямоугольник, а $N$ и $K$ — середины его противоположных сторон $B C$ и $B_{1} C_{1}$ . Поэтому $B N K B_{1}$ — параллелограмм ( $B N ∥ B_{1} K$ , $B N = B_{1} K$ ), и

$K N ∥ B B_{1} ∥ A A_{1}, K N = B B_{1} = A A_{1} .$

Значит, $A A_{1} K N$ — параллелограмм (две противоположные стороны параллельны и равны), откуда $A_{1} K ∥ A N$ и $A_{1} K = A N$ . Его диагональ $A_{1} N$ лежит в плоскости $A A_{1} K N$ .

Найдём линию пересечения плоскостей $A B_{1} M$ и $A A_{1} K N$ . Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям. Отрезки $B_{1} M$ и $A_{1} K$ — медианы треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ ; пусть $Q$ — точка их пересечения. Точка $Q$ лежит на $B_{1} M$ , то есть в плоскости $A B_{1} M$ , и на $A_{1} K$ , то есть в плоскости $A A_{1} K N$ . Плоскости различны (точка $A_{1}$ не лежит в плоскости $A B_{1} M$ ), поэтому они пересекаются по прямой $A Q$ .

Пусть $O$ — точка пересечения отрезка $A_{1} N$ с плоскостью $A B_{1} M$ . Она лежит и в плоскости $A A_{1} K N$ , то есть на линии пересечения плоскостей: $O = A Q \cap A_{1} N$ .

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, поэтому

$A_{1} Q = \frac{2}{3} A_{1} K = \frac{2}{3} A N .$

В параллелограмме $A A_{1} K N$ рассмотрим треугольники $A_{1} O Q$ и $N O A$ . Углы $A_{1} O Q$ и $N O A$ равны как вертикальные, углы $O A_{1} Q$ и $O N A$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $A_{1} K$ и $A N$ и секущей $A_{1} N$ . Значит, треугольники подобны, и

$\frac{A _{1} O}{O N} = \frac{A _{1} Q}{A N} = \frac{2}{3},$

что и требовалось доказать.

б) Будем рассматривать пирамиду $A M N B_{1}$ как пирамиду с основанием $A B_{1} M$ и вершиной $N$ и сравним её с пирамидой $A_{1} A B_{1} M$ , у которой то же основание и вершина $A_{1}$ :

$V_{N A B_{1} M} = \frac{1}{3} S_{A B_{1} M} \cdot d_{N}, V_{A_{1} A B_{1} M} = \frac{1}{3} S_{A B_{1} M} \cdot d_{A_{1}},$

где $d_{N}$ и $d_{A_{1}}$ — расстояния от точек $N$ и $A_{1}$ до плоскости $A B_{1} M$ .

Прямая $A_{1} N$ пересекает эту плоскость в точке $O$ . Пусть $ψ$ — угол между прямой $A_{1} N$ и плоскостью $A B_{1} M$ . Перпендикуляры, опущенные из $A_{1}$ и $N$ на плоскость, вместе с отрезками $A_{1} O$ и $N O$ образуют прямоугольные треугольники с острым углом $ψ$ при вершине $O$ , поэтому

$d_{A_{1}} = A_{1} O \cdot sin ψ, d_{N} = N O \cdot sin ψ, \frac{d _{N}}{d _{A_{1}}} = \frac{N O}{A _{1} O} = \frac{3}{2} .$

Значит, $V_{A M N B_{1}} = \frac{3}{2} V_{A_{1} A B_{1} M}$ .

Объём пирамиды $A_{1} A B_{1} M$ удобно считать, приняв за основание треугольник $A_{1} B_{1} M$ в плоскости верхнего основания, а за вершину — точку $A$ . Её высота равна боковому ребру $A A_{1} = 4$ . Медиана $B_{1} M$ делит правильный треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ со стороной $6$ на два треугольника равной площади:

$S_{A_{1} B_{1} M} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6 ^{2} 3}{4} = \frac{9 3}{2}, V_{A_{1} A B_{1} M} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \frac{9 3}{2} = 63 .$

Тогда

$V_{A M N B_{1}} = \frac{3}{2} \cdot 63 = 93 .$

Ответ: б) $93$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15