ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Точки $A$ и $T$ лежат в плоскости грани $A{A}_1{B}_{1}B$, точки $T$ и $C_1$ — в плоскости верхнего основания, точки $C_1$ и $A$ — в плоскости грани $A{A}_1{C}_{1}C$. Поэтому отрезки $AT$, $T{C}_1$ и $C_{1}A$ — линии пересечения секущей плоскости с этими гранями. Они образуют замкнутую ломаную, значит, сечение — треугольник $A{C}_{1}T$.

Призма правильная, поэтому она прямая: боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Все рёбра равны $6$, значит, боковые грани — квадраты со стороной $6$, а основания — правильные треугольники со стороной $6$.

Треугольник $A{A}_{1}T$ прямоугольный с прямым углом $A_1$, причём $A_{1}T=\frac{1}{2}{A}_1{B}_1=3$. По теореме Пифагора

$$A{T}^2=A_1{T}^2+A{A}_1^2=9+36=45.$$

Отрезок $A{C}_1$ — диагональ квадрата $A{A}_1{C}_{1}C$:

$$A{C}_1^2=A{A}_1^2+A_1{C}_1^2=36+36=72.$$

Отрезок $C_{1}T$ — медиана правильного треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ со стороной $6$, а значит, и его высота:

$$C_{1}T=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},C_1{T}^2=27.$$

Заметим, что

$$A{T}^2+C_1{T}^2=45+27=72=A{C}_1^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $A{C}_{1}T$ прямоугольный с прямым углом $T$, что и требовалось доказать.

б) Плоскости $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ параллельны, поэтому угол между плоскостью сечения и плоскостью $ABC$ равен углу между плоскостью сечения и плоскостью $A_1{B}_1{C}_1$. Эти плоскости пересекаются по прямой $C_{1}T$.

Медиана $C_{1}T$ правильного треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ является его высотой, поэтому $A_{1}T\perp C_{1}T$. По пункту а) $AT\perp C_{1}T$. Лучи $T{A}_1$ и $TA$ лежат в двух плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения, значит, $\angle AT{A}_1$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями. Он острый как острый угол прямоугольного треугольника $A{A}_{1}T$, поэтому он и равен искомому углу $\phi$.

Из прямоугольного треугольника $A{A}_{1}T$:

$$\mathrm{tg}\phi =\frac{A{A}_1}{A_{1}T}=\frac{6}{3}=2,\phi =\mathrm{arctg}2.$$

Ответ: б) $\mathrm{arctg}2$.