В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB, точка K… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной четырехугольной пирамиде $S A B C D$ точка $M$ — середина ребра $A B,$ точка $K$ — середина ребра $S D .$

а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $S B C .$

б) Найдите высоту пирамиды $S A B C D,$ если $A B = 16,$ а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $4 5^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $N$ — середина ребра $S C$ . Тогда $K N$ — средняя линия треугольника $S D C$ , поэтому

$K N ∥ D C, K N = \frac{1}{2} D C .$

$A B C D$ — квадрат, поэтому $A B ∥ D C$ и $A B = D C$ . Точка $M$ — середина $A B$ , значит, $M B ∥ D C$ и $M B = \frac{1}{2} D C$ .

Две прямые, параллельные третьей, параллельны, поэтому $K N ∥ M B$ , и при этом $K N = M B$ . Четырёхугольник $M B N K$ , у которого две противоположные стороны параллельны и равны, — параллелограмм. Следовательно, $M K ∥ B N$ .

Прямая $B N$ лежит в плоскости $S B C$ , а прямая $M K$ в ней не лежит: точка $M$ лежит на прямой $A B$ , которая пересекает плоскость $S B C$ только в точке $B$ . По признаку параллельности прямой и плоскости $M K ∥ (S B C)$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания. Пирамида правильная, поэтому $S O$ — её высота.

Опустим перпендикуляр $K H$ на плоскость основания. Прямые $K H$ и $S O$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны, и $K H$ лежит в плоскости $S D O$ ; значит, точка $H$ лежит на отрезке $O D$ . Так как $K$ — середина $S D$ и $K H ∥ S O$ , отрезок $K H$ — средняя линия треугольника $S D O$ :

$D H = H O, K H = \frac{1}{2} S O .$

Отрезок $M H$ — проекция $M K$ на плоскость основания, поэтому угол между прямой $M K$ и плоскостью основания равен $∠ K M H$ . По условию $∠ K M H = 4 5^{\circ}$ .

Найдём $M H$ . В квадрате со стороной $16$ отрезок $O M$ соединяет центр с серединой стороны $A B$ , поэтому $O M ⊥ A B$ , $O M = 8$ , и $O M$ — биссектриса прямого угла $A O B$ равнобедренного треугольника $A O B$ : $∠ A O M = 4 5^{\circ}$ .

Диагональ квадрата $B D = 162$ , откуда $O D = 82$ и $O H = \frac{1}{2} O D = 42$ . Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому

$∠ M O H = ∠ M O A + ∠ A O D = 4 5^{\circ} + 9 0^{\circ} = 13 5^{\circ} .$

По теореме косинусов для треугольника $M O H$ :

$M H^{2} = O M^{2} + O H^{2} - 2 \cdot O M \cdot O H \cdot cos 13 5^{\circ} = 64 + 32 - 2 \cdot 8 \cdot 42 \cdot (- \frac{2}{2}) = 64 + 32 + 64 = 160,$

$M H = 160 = 410 .$

Так как $K H ⊥ (A B C)$ , треугольник $K H M$ прямоугольный с прямым углом $H$ . Тогда

$K H = M H \cdot tg 4 5^{\circ} = 410, S O = 2 K H = 810 .$

Ответ: б) $810$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15