В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная развёрнутое

В правильном тетраэдре $A B C D$ все рёбра равны 6. На рёбрах $A B$ и $A D$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $A M = A K = 4$ .

а) Докажите, что плоскость $C M K$ делит тетраэдр $A B C D$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $5 : 4$ .

б) Найдите косинус угла между прямой $A C$ и плоскостью $C M K$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение CMK

а) Плоскость $C M K$ отсекает от тетраэдра тетраэдр $C A M K$ ; оставшаяся часть — четырёхугольная пирамида $C M B D K$ с вершиной $C$ .

Треугольники $A M K$ и $A B D$ имеют общий угол $A$ . Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, поэтому

$\frac{S _{A M K}}{S _{A B D}} = \frac{\frac{1}{2} A M \cdot A K \cdot sin A}{\frac{1}{2} A B \cdot A D \cdot sin A} = \frac{4 \cdot 4}{6 \cdot 6} = \frac{4}{9} .$

У тетраэдров $C A M K$ и $C A B D$ общая высота — перпендикуляр из вершины $C$ на плоскость $A B D$ . Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, поэтому их объёмы относятся как площади оснований:

$V_{C A M K} = \frac{4}{9} V_{A B C D}, V_{C M B D K} = V_{A B C D} - V_{C A M K} = \frac{5}{9} V_{A B C D} .$

Значит, объёмы частей относятся как $5 : 4$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём стороны треугольника $C M K$ . Все грани тетраэдра — правильные треугольники, поэтому $∠ M A K = ∠ C A M = ∠ C A K = 6 0^{\circ}$ .

Треугольник $A M K$ равнобедренный с углом $6 0^{\circ}$ при вершине, значит, он равносторонний: $M K = 4$ .

Треугольники $C A M$ и $C A K$ равны по двум сторонам и углу между ними ( $A C$ — общая, $A M = A K$ , углы при $A$ равны), поэтому $C M = C K$ . По теореме косинусов в треугольнике $C A M$ :

$C M^{2} = A C^{2} + A M^{2} - 2 \cdot A C \cdot A M \cdot cos 6 0^{\circ} = 36 + 16 - 24 = 28.$

Пусть $H$ — середина $M K$ . В равнобедренных треугольниках $A M K$ и $C M K$ медианы $A H$ и $C H$ являются высотами: $A H ⊥ M K$ и $C H ⊥ M K$ . Прямая $M K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $A C H$ , значит, $M K ⊥ (A C H)$ .

Проведём в плоскости $A C H$ перпендикуляр $A Q$ к прямой $C H$ . Так как $M K ⊥ (A C H)$ , то $A Q ⊥ M K$ . Итак, $A Q$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $C H$ и $M K$ плоскости $C M K$ , поэтому $A Q ⊥ (C M K)$ . Следовательно, $Q$ — проекция точки $A$ , а прямая $C H$ — проекция прямой $A C$ на плоскость $C M K$ . Угол между прямой $A C$ и плоскостью равен острому углу между прямыми $A C$ и $C H$ .

Найдём стороны треугольника $A C H$ :

$A C = 6, A H = \frac{3}{2} \cdot M K = 23, C H = C M^{2} - M H^{2} = 28 - 4 = 26 .$

По теореме косинусов в треугольнике $A C H$ :

$cos ∠ A C H = \frac{A C ^{2} + C H ^{2} - A H ^{2}}{2 \cdot A C \cdot C H} = \frac{36 + 24 - 12}{2 \cdot 6 \cdot 2 6} = \frac{48}{24 6} = \frac{2}{6} = \frac{6}{3} .$

Косинус положителен, угол $A C H$ острый, поэтому он и есть угол между прямой $A C$ и плоскостью $C M K$ .

Проверим ответ через объёмы. Объём правильного тетраэдра с ребром 6 равен $\frac{6 ^{3}}{6 2} = 182$ , поэтому по пункту а) $V_{C A M K} = \frac{4}{9} \cdot 182 = 82$ . Площадь треугольника $C M K$ равна $\frac{1}{2} \cdot M K \cdot C H = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 26 = 46$ . Расстояние от $A$ до плоскости $C M K$ :

$d = \frac{3 V _{C A M K}}{S _{C M K}} = \frac{24 2}{4 6} = 23, sin φ = \frac{d}{A C} = \frac{3}{3}, cos φ = 1 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} .$

Ответ: б) $\frac{6}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15