ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AD=BC=\sqrt{15}$.

В треугольнике $SAD$:

$$A{D}^2+S{A}^2=(\sqrt{15}{)}^2+15^2=15+225=240=(4\sqrt{15}{)}^2=S{D}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, угол $SAD$ прямой: $SA\perp AD$.

В треугольнике $SAB$:

$$A{B}^2+S{A}^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2=S{B}^2,$$

поэтому $SA\perp AB$.

Прямая $SA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $AD$ плоскости основания. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $SA\perp (ABD)$, то есть $SA$ — высота пирамиды, что и требовалось доказать.

б) Проведём в прямоугольном треугольнике $SAB$ высоту $AH$ к гипотенузе $SB$, так что $AH\perp SB$.

Прямая $BC$ перпендикулярна $AB$ (соседние стороны прямоугольника) и $SA$ (по пункту а) $SA$ перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит $BC$). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BC\perp (SAB)$. Отрезок $AH$ лежит в плоскости $SAB$, поэтому $AH\perp BC$.

Получили $AH\perp SB$ и $AH\perp BC$, причём $SB$ и $BC$ — пересекающиеся прямые плоскости $SBC$. Значит, $AH\perp (SBC)$, и расстояние от $A$ до плоскости $SBC$ равно $AH$.

Площадь прямоугольного треугольника $SAB$ можно записать как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту: $\frac{1}{2}SA\cdot AB=\frac{1}{2}SB\cdot AH$. Отсюда

$$AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{15\cdot 8}{17}=\frac{120}{17}.$$

Проверим ответ методом координат. Поместим начало координат в точку $A$, ось $Ox$ направим вдоль $AD$, ось $Oy$ — вдоль $AB$, ось $Oz$ — вдоль $AS$ (это возможно, так как $AD$, $AB$, $AS$ попарно перпендикулярны).

Тогда $B(0;8;0)$, $C(\sqrt{15};8;0)$, $S(0;0;15)$. Плоскость $SBC$ задаётся уравнением $15y+8z-120=0$: подставляя координаты, получаем $15\cdot 8-120=0$ для $B$ и $C$ и $8\cdot 15-120=0$ для $S$. Расстояние от $A(0;0;0)$ до этой плоскости

$$\rho =\frac{|0+0-120|}{\sqrt{15^2+8^2}}=\frac{120}{17}.$$

Ответ: б) $\frac{120}{17}$.