ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Разбор — 3 балла

а) Проведём образующую цилиндра через точку $C_1$; пусть она пересекает нижнее основание в точке $C$. Пусть $O$ и $O_1$ — центры оснований, $O{O}_1$ — ось.

Образующая $C{C}_1$ параллельна оси $O{O}_1$, поэтому ось либо параллельна плоскости $AC{C}_1$, либо лежит в ней. Отрезок $A{C}_1$ этой плоскости пересекает ось, значит, у оси и плоскости есть общая точка, и ось лежит в плоскости $AC{C}_1$. Тогда центр $O$ лежит на линии пересечения плоскости $AC{C}_1$ с плоскостью нижнего основания, то есть на прямой $AC$. Хорда $AC$ проходит через центр, поэтому $AC$ — диаметр нижнего основания.

Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$, то есть $CB\perp AB$.

Образующая $C_{1}C$ перпендикулярна плоскости основания. Значит, $C_{1}B$ — наклонная, а $CB$ — её проекция на плоскость основания. Прямая $AB$ перпендикулярна проекции, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $AB\perp C_{1}B$, то есть $\angle AB{C}_1=90^{\circ }$, что и требовалось доказать.

б) Образующие $B{B}_1$ и $C{C}_1$ равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому $B{B}_1{C}_{1}C$ — прямоугольник и

$$BC=B_1{C}_1=16.$$

Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$, по теореме Пифагора

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20.$$

$AC$ — диаметр основания, поэтому радиус $R=\frac{20}{2}=10$.

Образующая $B{B}_1$ перпендикулярна основаниям, значит, она равна высоте цилиндра: $h=17$. Площадь боковой поверхности цилиндра

$$S_{\text{бок}}=2\pi R\cdot h=2\pi \cdot 10\cdot 17=340\pi .$$

Ответ: б) $340\pi$.