В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что 2A₁M=3MA… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $2 A_{1} M = 3 M A,$ $A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$

a) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α,$ если все рёбра призмы равны 40.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Призма правильная, поэтому её основания — правильные треугольники, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

По условию $A_{1} K = K B_{1}$ , то есть $C_{1} K$ — медиана правильного треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ . В правильном треугольнике медиана является и высотой, поэтому $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ .

Ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ , поэтому $A A_{1} ⊥ C_{1} K$ .

Прямая $C_{1} K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ плоскости $A B B_{1}$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ .

Плоскости $α$ и $A B B_{1}$ пересекаются по прямой $M K$ (обе точки лежат в обеих плоскостях). Проведём в плоскости $α$ через точку $K$ прямую, перпендикулярную $M K$ . Плоскости $α$ и $A B B_{1}$ перпендикулярны, а прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Значит, проведённая прямая перпендикулярна плоскости $A B B_{1}$ . Но через точку $K$ проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости $A B B_{1}$ , — это $K C_{1}$ . Следовательно, прямая $K C_{1}$ лежит в плоскости $α$ , и $α$ проходит через вершину $C_{1}$ , что и требовалось доказать.

б) Построим сечение. Плоскость $α$ содержит точки $M$ , $K$ и $C_{1}$ . Она пересекает грань $A B B_{1} A_{1}$ по отрезку $M K$ , верхнее основание — по отрезку $K C_{1}$ , грань $A A_{1} C_{1} C$ — по отрезку $C_{1} M$ . Эти три отрезка образуют замкнутую ломаную, поэтому сечение — треугольник $M K C_{1}$ .

Из пункта а) $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ , а прямая $M K$ лежит в этой плоскости. Значит, $C_{1} K ⊥ M K$ , и треугольник $M K C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $K$ . Его площадь

$S = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot C_{1} K .$

Найдём катеты. Все рёбра равны 40, поэтому $A_{1} K = K B_{1} = 20$ . Из равенства $2 A_{1} M = 3 M A$ получаем $A_{1} M : M A = 3 : 2$ , и

$A_{1} M = \frac{3}{5} \cdot 40 = 24, M A = 16.$

Треугольник $M A_{1} K$ прямоугольный (грань $A B B_{1} A_{1}$ — квадрат), по теореме Пифагора

$M K = A_{1} M^{2} + A_{1} K^{2} = 576 + 400 = 976 = 461 .$

В прямоугольном треугольнике $C_{1} K A_{1}$ (угол $K$ прямой):

$C_{1} K = C_{1} A_{1}^{2} - A_{1} K^{2} = 1600 - 400 = 203 .$

Тогда площадь сечения

$S = \frac{1}{2} \cdot 461 \cdot 203 = 40183 .$

Ответ: б) $40183$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15