ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Разбор — 3 балла

а) Пусть $C{C}_1$ — образующая цилиндра, проходящая через точку $C_1$ (точка $C$ лежит на окружности нижнего основания), а $O{O}_1$ — ось цилиндра, где $O$ и $O_1$ — центры оснований.

Докажем, что ось лежит в плоскости $AC{C}_1$. Образующая $C{C}_1$ параллельна оси $O{O}_1$, поэтому прямая $O{O}_1$ либо параллельна плоскости $AC{C}_1$, либо лежит в ней. По условию отрезок $A{C}_1$ пересекает ось, то есть у прямой $O{O}_1$ и плоскости $AC{C}_1$ есть общая точка. Значит, ось лежит в плоскости $AC{C}_1$.

Тогда центр $O$ лежит и в плоскости $AC{C}_1$, и в плоскости нижнего основания, то есть на линии их пересечения — прямой $AC$. Хорда $AC$ проходит через центр окружности, значит, $AC$ — диаметр нижнего основания.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$, то есть $AB\perp BC$.

Цилиндр прямой, поэтому образующая $C{C}_1$ перпендикулярна плоскости основания. Отрезок $C_{1}C$ — перпендикуляр, $C_{1}B$ — наклонная, $CB$ — её проекция на плоскость основания. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $AB\perp B{C}_1$. Значит, угол $AB{C}_1$ прямой, что и требовалось доказать.

б) Образующие $B{B}_1$ и $C{C}_1$ параллельны, поэтому угол между прямыми $B{B}_1$ и $A{C}_1$ равен углу между прямыми $C{C}_1$ и $A{C}_1$, то есть углу $A{C}_{1}C$.

Образующие равны и перпендикулярны основаниям, поэтому $B{B}_1{C}_{1}C$ — прямоугольник. Отсюда

$$BC=B_1{C}_1=15,C{C}_1=B{B}_1=17\sqrt{3}.$$

Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$, по теореме Пифагора

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{64+225}=17.$$

Треугольник $AC{C}_1$ прямоугольный с прямым углом $C$ (так как $C{C}_1$ перпендикулярна плоскости основания). Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$\mathrm{tg}\angle A{C}_{1}C=\frac{AC}{C{C}_1}=\frac{17}{17\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},\angle A{C}_{1}C=30^{\circ }.$$

Ответ: б) $30^{\circ }$.