Дан правильный тетраэдр ABCD. Точки M и N — середины ребер AB и CD соответственно. Плоскость α параллельна прямым AB и CD… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2024 развёрнутое

Дан правильный тетраэдр $A B C D .$ Точки $M$ и $N$ — середины ребер $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ параллельна прямым $A B$ и $C D,$ пересекает прямую $M N$ в точке $K,$ а ребро $A C$ в точке $L .$

а) Докажите, что прямая $M N$ перпендикулярна плоскости $α .$

б) Найдите $A L,$ если известно, что $M K = 1,$ $K N = 2.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть ребро тетраэдра равно $a$ . Все грани — равные правильные треугольники.

Отрезки $A N$ и $B N$ — медианы правильных треугольников $A C D$ и $B C D$ , поэтому они равны: $A N = B N = \frac{a 3}{2}$ . Значит, треугольник $A B N$ равнобедренный, и его медиана $N M$ является высотой: $M N ⊥ A B$ .

Аналогично $C M = D M$ как медианы правильных треугольников $A B C$ и $A B D$ . В равнобедренном треугольнике $C M D$ медиана $M N$ является высотой: $M N ⊥ C D$ .

Плоскость $α$ параллельна прямым $A B$ и $C D$ . Проведём в ней через точку $L$ прямые $L P ∥ A B$ и $L R ∥ C D$ : прямая, проходящая через точку плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости, лежит в плоскости. Перпендикулярность прямых сохраняется при параллельном переносе одной из них, поэтому $M N ⊥ L P$ и $M N ⊥ L R$ . Прямые $A B$ и $C D$ скрещиваются, значит, $L P$ и $L R$ — две пересекающиеся прямые плоскости $α$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $M N ⊥ α$ , что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим плоскость $A B N$ . Она содержит прямую $A B$ и отрезок $M N$ , а значит, и точку $K$ . Так как $A B ∥ α$ , плоскость $A B N$ пересекает $α$ по прямой, проходящей через $K$ параллельно $A B$ . Пусть эта прямая пересекает $A N$ в точке $O$ .

В треугольнике $A N M$ прямая $O K$ параллельна стороне $A M$ . По теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{A O}{O N} = \frac{M K}{K N} = \frac{1}{2} .$

Точка $O$ лежит в плоскости $α$ и на отрезке $A N$ , то есть в плоскости $A C D$ . Точка $L$ тоже лежит и в $α$ , и в плоскости $A C D$ . Так как $C D ∥ α$ , плоскость $A C D$ пересекает $α$ по прямой, параллельной $C D$ . Значит, $L O ∥ C D$ .

В треугольнике $A C N$ (точка $N$ лежит на $C D$ ) прямая $L O$ параллельна стороне $C N$ , поэтому

$\frac{A L}{L C} = \frac{A O}{O N} = \frac{1}{2}, A L = \frac{1}{3} A C = \frac{a}{3} .$

Найдём $a$ . Из пункта а) $M N ⊥ A B$ , поэтому треугольник $B M N$ прямоугольный с прямым углом $M$ , в нём $B M = \frac{a}{2}$ , $B N = \frac{a 3}{2}$ . По теореме Пифагора

$M N = B N^{2} - B M^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{4} = \frac{a}{2} .$

С другой стороны, $M N = M K + K N = 3$ . Отсюда $a = 32$ и

$A L = \frac{3 2}{3} = 2 .$

Ответ: б) $2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15