Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярно прямой BD₁. a) Докажите… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2025 развёрнутое

Плоскость $α$ проходит через середину ребра $A D$ прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ перпендикулярно прямой $B D_{1} .$

a) Докажите, что угол между плоскостью $α$ и плоскостью $(A B C)$ равен углу между прямыми $B B_{1}$ и $B_{1} D .$

б) Найдите угол между плоскостью $α$ и плоскостью $(A B C),$ если объём параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равен $2102,$ $A B = 26$ и $A D = 5.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Параллелепипед прямоугольный, поэтому боковое ребро $B B_{1}$ перпендикулярно плоскости $A B C$ . По условию прямая $B D_{1}$ перпендикулярна плоскости $α$ .

Угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Обоснуем это для наших плоскостей. Плоскости $α$ и $A B C$ не параллельны: иначе прямая $B D_{1}$ была бы перпендикулярна плоскости $A B C$ и совпала бы с перпендикуляром $B B_{1}$ . Пусть $l$ — линия их пересечения. Рассмотрим плоскость $π$ , проходящую через $B$ перпендикулярно $l$ . Прямые $B B_{1}$ и $B D_{1}$ перпендикулярны прямой $l$ (каждая перпендикулярна плоскости, содержащей $l$ ), поэтому обе лежат в $π$ . Плоскость $π$ пересекает $α$ и $A B C$ по прямым $a$ и $b$ , перпендикулярным $l$ , и угол между $a$ и $b$ — линейный угол двугранного угла. В плоскости $π$ имеем $B B_{1} ⊥ b$ и $B D_{1} ⊥ a$ , а угол между прямыми, соответственно перпендикулярными двум прямым, равен углу между этими прямыми. Значит, угол между $α$ и $A B C$ равен углу между прямыми $B B_{1}$ и $B D_{1}$ , то есть углу $B_{1} B D_{1}$ .

Осталось показать, что $∠ B_{1} B D_{1} = ∠ B B_{1} D$ . Четырёхугольник $B B_{1} D_{1} D$ — прямоугольник: $B B_{1} ∥ D D_{1}$ , $B B_{1} = D D_{1}$ и $B B_{1} ⊥ B D$ . Его диагонали $B D_{1}$ и $B_{1} D$ равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $O B = O B_{1}$ . В равнобедренном треугольнике $B O B_{1}$ углы при основании равны:

$∠ O B B_{1} = ∠ O B_{1} B, то есть ∠ D_{1} B B_{1} = ∠ D B_{1} B .$

Следовательно, угол между $α$ и $A B C$ равен углу между прямыми $B B_{1}$ и $B_{1} D$ , что и требовалось доказать.

б) По пункту а) нужно найти угол $B B_{1} D$ .

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: $V = A B \cdot A D \cdot A A_{1}$ . Отсюда

$A A_{1} = \frac{V}{A B \cdot A D} = \frac{210 2}{2 6 \cdot 5} = \frac{21 2}{6} = \frac{21}{3} = 73 .$

Параллельные рёбра равны, поэтому $B B_{1} = A A_{1} = 73$ .

Основание — прямоугольник, по теореме Пифагора в треугольнике $B A D$ :

$B D = A B^{2} + A D^{2} = 24 + 25 = 7.$

Ребро $B B_{1}$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому треугольник $D B B_{1}$ прямоугольный с прямым углом $B$ . Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$tg ∠ B B_{1} D = \frac{B D}{B B _{1}} = \frac{7}{7 3} = \frac{1}{3}, ∠ B B_{1} D = 3 0^{\circ} .$

Ответ: б) $3 0^{\circ}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15