ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Проверим, прямоугольны ли боковые грани, примыкающие к ребру $SA$.

В треугольнике $SAB$:

$$A{B}^2+S{A}^2=64+225=289=17^2=S{B}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, угол $SAB$ прямой, то есть $SA\perp AB$.

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AD=BC=\sqrt{15}$. В треугольнике $SAD$:

$$A{D}^2+S{A}^2=15+225=240=(4\sqrt{15}{)}^2=S{D}^2,$$

значит, $SA\perp AD$.

Прямая $SA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $AD$ плоскости основания. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $SA\perp (ABC)$, то есть $SA$ — высота пирамиды, что и требовалось доказать.

б) Сначала докажем, что $BC\perp (SAB)$. Во-первых, $BC\perp AB$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Во-вторых, $BC\perp SA$, так как $SA$ перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит $BC$. Прямые $AB$ и $SA$ пересекаются, поэтому по признаку $BC\perp (SAB)$.

Проведём в треугольнике $SAB$ высоту $AH$ к стороне $SB$. Прямая $AH$ лежит в плоскости $SAB$, поэтому $AH\perp BC$. Кроме того, $AH\perp SB$ по построению. Прямые $SB$ и $BC$ пересекаются и лежат в плоскости $SBC$, значит, $AH\perp (SBC)$, и расстояние от $A$ до плоскости $SBC$ равно $AH$.

Треугольник $SAB$ прямоугольный с прямым углом $A$, а $AH$ — его высота к гипотенузе. Запишем площадь двумя способами: $\frac{1}{2}SA\cdot AB=\frac{1}{2}SB\cdot AH$. Отсюда

$$AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{15\cdot 8}{17}=\frac{120}{17}.$$

Ответ: б) $\frac{120}{17}$.