В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S все ребра… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2017 развёрнутое

В правильной четырехугольной пирамиде $S A B C D$ с вершиной $S$ все ребра равны 5. На ребрах $S A$ , $A B$ , $B C$ взяты точки $K, M, N$ соответственно, причем $K A = A M = N C = 2.$

а) Докажите, что плоскость $K N M$ перпендикулярна ребру $S D .$

б) Найдите расстояние от вершины $D$ до плоскости $K N M .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр основания, $S O$ — высота пирамиды. Все рёбра равны 5, поэтому

$B M = A B - A M = 3, B N = B C - N C = 3.$

Так как $\frac{B M}{B A} = \frac{B N}{B C}$ , по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $M N ∥ A C$ .

Докажем, что $S D ⊥ M N$ . Диагонали квадрата перпендикулярны: $A C ⊥ B D$ ; кроме того, $A C ⊥ S O$ . Значит, $A C ⊥ (B S D)$ , и параллельная ей прямая $M N$ тоже перпендикулярна плоскости $B S D$ . Прямая $S D$ лежит в этой плоскости, поэтому $S D ⊥ M N$ .

Теперь найдём вторую прямую плоскости $K M N$ , перпендикулярную $S D$ . Плоскость $K M N$ содержит прямую $M N ∥ A C$ , поэтому параллельна $A C$ . Плоскость $A S C$ проходит через $A C$ и точку $K$ , значит, пересекает плоскость $K M N$ по прямой $K P ∥ A C$ , $P \in S C$ . Пусть $K P$ пересекает высоту $S O$ в точке $T$ , а $M N$ пересекает $B D$ в точке $R$ . Точки $R$ и $T$ лежат и в плоскости $K M N$ , и в плоскости $B S D$ .

По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике $A B O$ ( $M R ∥ A O$ ) и в треугольнике $A S O$ ( $K T ∥ A O$ ):

$\frac{O R}{O B} = \frac{A M}{A B} = \frac{2}{5}, \frac{O T}{O S} = \frac{A K}{A S} = \frac{2}{5} .$

В треугольнике $O B S$ точки $R$ и $T$ делят стороны $O B$ и $O S$ в одном отношении, поэтому $R T ∥ S B$ . Пусть прямая $R T$ пересекает $S D$ в точке $Q$ . Тогда $K M N P Q$ — сечение пирамиды плоскостью $K M N$ , а $R Q ∥ S B$ .

В треугольнике $B S D$ стороны $S B = S D = 5$ , $B D = 52$ , и $S B^{2} + S D^{2} = 50 = B D^{2}$ . По теореме, обратной теореме Пифагора, $∠ B S D = 9 0^{\circ}$ , то есть $S B ⊥ S D$ . Так как $R Q ∥ S B$ , то $R Q ⊥ S D$ .

Прямая $S D$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $R$ прямым $M N$ и $R Q$ плоскости $K M N$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $S D ⊥ (K M N)$ , что и требовалось доказать.

б) Так как $S D ⊥ (K M N)$ , а точка $Q$ — общая точка прямой $S D$ и плоскости $K M N$ , то $D Q$ — перпендикуляр к плоскости, и расстояние от $D$ до плоскости $K M N$ равно $D Q$ .

Из найденного $O R = \frac{2}{5} O B$ , $R B = \frac{3}{5} O B$ , а $D O = O B$ , поэтому

$D R = D O + O R = \frac{7}{5} O B, D R : R B = 7 : 3.$

В треугольнике $D S B$ прямая $R Q$ параллельна стороне $S B$ , по теореме о пропорциональных отрезках $D Q : QS = D R : R B = 7 : 3$ . Значит,

$D Q = \frac{7}{10} D S = \frac{7}{10} \cdot 5 = 3, 5.$

Ответ: б) $3, 5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15