Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2021 развёрнутое

Точка $E$ лежит на высоте $S O,$ а точка $F$ — на боковом ребре $S C$ правильной четырёхугольной пирамиды $S A B C D,$ причём $S E : E O = S F : F C = 2 : 1.$

а) Докажите, что плоскость $(B E F)$ пересекает ребро $S D$ в его середине.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $B E F,$ если $A B = 8,$ $S O = 14.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Построим сечение пирамиды плоскостью $B E F$ . Прямая $B E$ лежит в плоскости $B S D$ ; пусть она пересекает ребро $S D$ в точке $G$ . Прямая $E F$ лежит в плоскости $A S C$ ; пусть она пересекает ребро $S A$ в точке $H$ . Сечение — четырёхугольник $B H GF$ .

а) Плоскости $B E F$ и $B S D$ различны (точка $F$ не лежит в $B S D$ ) и имеют общие точки $B$ и $E$ , поэтому пересекаются по прямой $B E$ . Значит, плоскость $B E F$ пересекает ребро $S D$ в точке $G = B E \cap S D$ .

Пирамида правильная, поэтому $S B = S D$ , а $O$ — середина $B D$ . Значит, $S O$ — медиана треугольника $B S D$ . Точка $E$ делит эту медиану в отношении $S E : E O = 2 : 1$ , считая от вершины, поэтому $E$ — точка пересечения медиан треугольника $B S D$ . Следовательно, прямая $B E$ содержит медиану этого треугольника, и $G$ — середина $S D$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём положение точки $H$ . В треугольнике $O S C$ имеем $S E : E O = S F : F C = 2 : 1$ , поэтому по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $E F ∥ O C$ , то есть $H F ∥ A C$ .

В треугольнике $A S C$ прямая $H F$ параллельна $A C$ , значит, $△ H S F \sim △ A S C$ и

$\frac{H F}{A C} = \frac{S F}{S C} = \frac{2}{3} \Rightarrow H F = \frac{2}{3} A C = \frac{2}{3} \cdot 82 = \frac{16 2}{3} .$

Диагонали квадрата перпендикулярны: $A C ⊥ B D$ , кроме того $A C ⊥ S O$ , так как $S O$ — высота. Значит, $A C ⊥ (B S D)$ . Прямая $H F$ параллельна $A C$ , поэтому тоже перпендикулярна плоскости $B S D$ и любой прямой в ней, в частности $H F ⊥ B G$ .

Диагонали $B G$ и $H F$ четырёхугольника $B H GF$ пересекаются в точке $E$ и перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей:

$S_{B H GF} = \frac{1}{2} \cdot H F \cdot B G .$

Найдём $B G$ . Точка $E$ делит медиану $B G$ в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, поэтому $B G = \frac{3}{2} B E$ . Треугольник $B O E$ прямоугольный ( $S O ⊥ B D$ ), причём

$E O = \frac{1}{3} S O = \frac{14}{3}, B O = \frac{1}{2} B D = \frac{8 2}{2} = 42 .$

$B E = E O^{2} + B O^{2} = \frac{196}{9} + 32 = \frac{484}{9} = \frac{22}{3}, B G = \frac{3}{2} \cdot \frac{22}{3} = 11.$

$S_{B H GF} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16 2}{3} \cdot 11 = \frac{88 2}{3} .$

Ответ: б) $\frac{88 2}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15