В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=√5 и BC=2… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2024 развёрнутое

В основании четырёхугольной пирамиды $S A B C D$ лежит прямоугольник $A B C D$ со сторонами $A B = 5$ и $B C = 2.$ Длины боковых рёбер пирамиды $S A = 7,$ $S B = 23$ и $S D = 11 .$

а) Докажите, что $S A$ — высота пирамиды $S A B C D .$

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(S B C) .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Проверим треугольники $S A B$ и $S A D$ . Так как $A B C D$ — прямоугольник, $A D = B C = 2$ .

$S B^{2} = 12 = 7 + 5 = S A^{2} + A B^{2}, S D^{2} = 11 = 7 + 4 = S A^{2} + A D^{2} .$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $S A B$ и $S A D$ прямоугольные с прямыми углами при вершине $A$ : $S A ⊥ A B$ и $S A ⊥ A D$ .

Рисунок к решению

Прямая $S A$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A B$ и $A D$ плоскости основания, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $S A ⊥ (A B D)$ , и $S A$ — высота пирамиды, что и требовалось доказать.

б) Проведём в треугольнике $S A B$ высоту $A H$ к стороне $S B$ .

$B C ⊥ A B$ , так как $A B C D$ — прямоугольник, и $B C ⊥ S A$ , так как $S A$ перпендикулярна плоскости основания. Значит, $B C ⊥ (S A B)$ , и $B C$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $A H$ .

Итак, $A H ⊥ S B$ по построению и $A H ⊥ B C$ . Прямые $S B$ и $B C$ пересекаются и лежат в плоскости $S B C$ , поэтому $A H ⊥ (S B C)$ , и длина $A H$ — искомое расстояние.

Высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, найдём через удвоенную площадь:

$A H = \frac{S A \cdot A B}{S B} = \frac{7 \cdot 5}{2 3} = \frac{35}{2 3} = \frac{105}{6} .$

Ответ: б) $\frac{105}{6}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15