Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, при… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2026 развёрнутое

Основанием четырехугольной пирамиды $S A B C D$ является квадрат $A B C D,$ при этом ребро $S A$ перпендикулярно плоскости основания. Через середины ребер $B C$ и $C D$ параллельно прямой $S C$ проведена плоскость $α .$

а) Докажите, что точка пересечения плоскости $α$ с ребром $S A$ делит его в отношении $1 : 3,$ считая от вершины $S .$

б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α,$ если $A B = 4,$ $S A = 32 .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $M$ и $N$ — середины рёбер $B C$ и $C D$ , $H$ — точка пересечения диагоналей $A C$ и $B D$ квадрата. Прямая $M N$ лежит в плоскости $α$ .

$M N$ — средняя линия треугольника $B C D$ , поэтому $M N ∥ B D$ . Прямые $M N$ и $A C$ лежат в плоскости основания и пересекаются в точке $P$ . В треугольнике $C B H$ прямая $M P$ параллельна стороне $B H$ и проходит через середину $M$ стороны $C B$ , поэтому по теореме Фалеса $P$ — середина $C H$ . Так как $C H = \frac{1}{2} A C$ ,

$C P = \frac{1}{4} A C, P A = \frac{3}{4} A C, C P : P A = 1 : 3.$

Плоскость $α$ параллельна прямой $S C$ . Плоскость $A S C$ проходит через $S C$ и через точку $P$ плоскости $α$ . Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит, $α$ пересекает плоскость $A S C$ по прямой, проходящей через $P$ параллельно $S C$ . Проведём $P K ∥ S C$ , $K \in S A$ ; тогда $K$ — точка пересечения $α$ с ребром $S A$ .

В треугольнике $A S C$ прямая $P K$ параллельна стороне $S C$ . По теореме о пропорциональных отрезках

$S K : K A = C P : P A = 1 : 3,$

что и требовалось доказать.

б) Достроим сечение. Плоскость грани $S B C$ содержит прямую $S C$ и точку $M$ плоскости $α$ , поэтому $α$ пересекает эту грань по прямой $M E ∥ S C$ , $E \in S B$ . Так как $M$ — середина $B C$ , по теореме Фалеса $E$ — середина $S B$ . Аналогично в грани $S C D$ проведём $N F ∥ S C$ , $F$ — середина $S D$ . Сечение пирамиды — пятиугольник $M E K F N$ .

Разберёмся с его формой. Отрезки $M E$ и $N F$ — средние линии треугольников $S B C$ и $S D C$ , поэтому

$M E ∥ N F ∥ S C, M E = N F = \frac{1}{2} S C,$

и $M E F N$ — параллелограмм. Ребро $S A$ перпендикулярно основанию, $A C$ — проекция наклонной $S C$ на основание, а диагонали квадрата перпендикулярны: $A C ⊥ B D$ . По теореме о трёх перпендикулярах $S C ⊥ B D$ . Так как $M E ∥ S C$ и $M N ∥ B D$ , то $M E ⊥ M N$ , и $M E F N$ — прямоугольник, $E F = M N$ .

Пусть отрезок $K P$ пересекает $E F$ в точке $Q$ . Так как $K P ∥ S C$ , $E F ∥ M N ∥ B D$ и $S C ⊥ B D$ , то $K Q ⊥ E F$ , то есть $K Q$ — высота треугольника $E K F$ . Кроме того, $P Q ∥ M E$ (обе прямые параллельны $S C$ ), поэтому $M E QP$ — параллелограмм и $P Q = M E$ .

Таким образом, сечение состоит из прямоугольника $M E F N$ и треугольника $E K F$ :

$S_{M E K F N} = M N \cdot M E + \frac{1}{2} \cdot E F \cdot K Q, K Q = K P - M E .$

Найдём длины. Диагонали квадрата $A C = B D = 42$ . Треугольник $S A C$ прямоугольный ( $S A ⊥ A C$ ), по теореме Пифагора

$S C = S A^{2} + A C^{2} = 18 + 32 = 52 .$

$M N = E F = \frac{1}{2} B D = 22, M E = \frac{1}{2} S C = \frac{5 2}{2} .$

Треугольник $A K P$ подобен треугольнику $A S C$ ( $K P ∥ S C$ ) с коэффициентом $\frac{A P}{A C} = \frac{3}{4}$ :

$K P = \frac{3}{4} S C = \frac{15 2}{4}, K Q = \frac{15 2}{4} - \frac{10 2}{4} = \frac{5 2}{4} .$

$S_{M E K F N} = 22 \cdot \frac{5 2}{2} + \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot \frac{5 2}{4} = 10 + \frac{5}{2} = 12, 5.$

Ответ: б) $12, 5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15