В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 3, высота SH равна… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна 3, высота $S H$ равна 12. Точка $K$ — середина бокового ребра $S A,$ а точка $N$ — середина ребра $B C .$ Плоскость, параллельная плоскости $(A B C),$ проходит через точку $K$ и пересекает рёбра $S B$ и $S C$ в точках $Q$ и $P$ соответственно.

a) Докажите, что прямая $QP$ пересекает отрезок $S N$ в его середине.

б) Найдите угол между плоскостями $(A B C)$ и $(A QP) .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) По условию $(K QP) ∥ (A B C)$ . Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. Плоскость $A S B$ пересекает их по прямым $K Q$ и $A B$ , поэтому $K Q ∥ A B$ ; плоскость $A S C$ — по прямым $K P$ и $A C$ , поэтому $K P ∥ A C$ .

В треугольнике $S A B$ точка $K$ — середина $S A$ , а $K Q ∥ A B$ . По теореме Фалеса $Q$ — середина $S B$ . Аналогично в треугольнике $S A C$ точка $P$ — середина $S C$ .

Значит, $QP$ — средняя линия треугольника $S B C$ , и $QP ∥ B C$ . Отрезок $S N$ соединяет вершину $S$ с серединой $B C$ , поэтому он пересекает среднюю линию $QP$ ; обозначим точку пересечения $T$ .

В треугольнике $S B N$ прямая $QT$ параллельна стороне $B N$ и проходит через середину $Q$ стороны $S B$ . По теореме Фалеса $T$ — середина $S N$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём линию пересечения плоскостей $A B C$ и $A QP$ . У них есть общая точка $A$ . Прямая $QP$ параллельна прямой $B C$ плоскости $A B C$ и не лежит в этой плоскости, поэтому $QP ∥ (A B C)$ . Плоскость $A QP$ проходит через $QP$ и пересекает плоскость $A B C$ по некоторой прямой $l$ , которая проходит через $A$ и параллельна $QP$ , а значит, и $B C$ .

Треугольник $A B C$ правильный, поэтому его медиана $A N$ — высота: $A N ⊥ B C$ . Треугольник $S B C$ равнобедренный ( $S B = S C$ ), поэтому $S N ⊥ B C$ . Прямая $B C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $A S N$ , значит, $B C ⊥ (A S N)$ , а так как $l ∥ B C$ , то и $l ⊥ (A S N)$ .

Следовательно, $l ⊥ A N$ и $l ⊥ A T$ . Прямая $A N$ лежит в плоскости $A B C$ , а прямая $A T$ — в плоскости $A QP$ (точка $T$ лежит на $QP$ ). Поэтому $∠ T A N$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $A QP$ и $A B C$ . Обозначим его $φ$ .

Пирамида правильная, поэтому основание высоты $H$ — центр треугольника $A B C$ ; он лежит на медиане $A N$ и делит её в отношении $A H : H N = 2 : 1$ :

$A N = \frac{A B 3}{2} = \frac{3 3}{2}, A H = \frac{2}{3} A N = 3, H N = \frac{3}{2} .$

В плоскости $A S N$ проведём $T T_{1} ∥ S H$ , $T_{1} \in H N$ . Тогда $T T_{1} ⊥ (A B C)$ . Так как $T$ — середина $S N$ , по теореме Фалеса $T_{1}$ — середина $H N$ , а $T T_{1}$ — средняя линия треугольника $S H N$ :

$T T_{1} = \frac{1}{2} S H = 6, A T_{1} = A H + H T_{1} = 3 + \frac{3}{4} = \frac{5 3}{4} .$

Точка $T_{1}$ лежит на отрезке $A N$ , поэтому $φ = ∠ T A T_{1}$ . Треугольник $A T T_{1}$ прямоугольный с прямым углом $T_{1}$ , значит, угол $φ$ острый и

$tg φ = \frac{T T _{1}}{A T _{1}} = 6 : \frac{5 3}{4} = \frac{24}{5 3} = \frac{8 3}{5}, φ = arctg \frac{8 3}{5} .$

Ответ: б) $arctg \frac{8 3}{5}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15