В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы сложная 2024 развёрнутое

В основании прямой призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит параллелограмм $A B C D .$ На рёбрах $A_{1} B_{1},$ $B_{1} C_{1}$ и $B C$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1} K : K C_{1} = 2 : 5.$ Четырёхугольник $A M K N$ — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 7.

a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $B C .$

б) Найдите площадь трапеции $A M K N,$ если объём призмы равен 42, а высота призмы равна 3.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Призма прямая, поэтому её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а сами основания лежат в параллельных плоскостях.

Плоскость трапеции $A M K N$ пересекает параллельные плоскости $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ по прямым $A N$ и $M K$ . Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны, поэтому $A N ∥ M K$ . У трапеции только одна пара параллельных сторон, значит, $A N$ и $M K$ — её основания, а $A M$ и $K N$ — боковые стороны.

Пусть $N_{1}$ — проекция точки $N$ на плоскость верхнего основания. Так как $N N_{1} ∥ B B_{1}$ , точка $N_{1}$ лежит на ребре $B_{1} C_{1}$ , а $B B_{1} N_{1} N$ — прямоугольник, поэтому $B_{1} N_{1} = B N$ . Четырёхугольник $A A_{1} N_{1} N$ — параллелограмм ( $A A_{1} ∥ N N_{1}$ и $A A_{1} = N N_{1}$ ), поэтому

$A_{1} N_{1} ∥ A N, A_{1} N_{1} = A N .$

Значит, $M K ∥ A_{1} N_{1}$ . В треугольнике $A_{1} B_{1} N_{1}$ прямая $M K$ параллельна стороне $A_{1} N_{1}$ и проходит через точку $M$ стороны $B_{1} A_{1}$ , поэтому $K$ лежит на стороне $B_{1} N_{1}$ и $△ B_{1} M K \sim △ B_{1} A_{1} N_{1}$ :

$\frac{M K}{A _{1} N _{1}} = \frac{B _{1} M}{B _{1} A _{1}} = \frac{B _{1} K}{B _{1} N _{1}} .$

Так как $B_{1} M < B_{1} A_{1}$ (при $M = A_{1}$ было бы $M K = A N$ , и четырёхугольник оказался бы параллелограммом), то $M K < A_{1} N_{1} = A N$ . Значит, меньшее основание $M K = 4$ , большее $A N = 7$ , и

$\frac{B _{1} K}{B _{1} N _{1}} = \frac{4}{7} .$

Пусть $B_{1} K = 2 t$ , тогда $K C_{1} = 5 t$ и $B_{1} C_{1} = 7 t$ . Получаем

$B_{1} N_{1} = \frac{7}{4} \cdot B_{1} K = \frac{7}{4} \cdot 2 t = \frac{7 t}{2} = \frac{1}{2} B_{1} C_{1} .$

Итак, $N_{1}$ — середина $B_{1} C_{1}$ , а так как $B N = B_{1} N_{1}$ и $B C = B_{1} C_{1}$ , точка $N$ — середина ребра $B C$ , что и требовалось доказать.

б) Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, поэтому площадь основания

$S = \frac{V}{h} = \frac{42}{3} = 14.$

Диагональ $A_{1} C_{1}$ делит параллелограмм $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ на два равных треугольника, $S_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 7$ . Медиана $A_{1} N_{1}$ делит треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ на два равновеликих, поэтому

$S_{A_{1} B_{1} N_{1}} = \frac{7}{2} .$

Пусть $B_{1} H_{1}$ — высота треугольника $A_{1} B_{1} N_{1}$ , проведённая к прямой $A_{1} N_{1}$ . Так как $A_{1} N_{1} = A N = 7$ ,

$B_{1} H_{1} = \frac{2 S _{A_{1} B_{1} N_{1}}}{A _{1} N _{1}} = \frac{7}{7} = 1.$

Пусть $B_{1} H_{1}$ пересекает прямую $M K$ в точке $P$ . Так как $M K ∥ A_{1} N_{1}$ , то $P H_{1} ⊥ M K$ . Треугольник $B_{1} M P$ подобен треугольнику $B_{1} A_{1} H_{1}$ с коэффициентом $\frac{4}{7}$ , поэтому $B_{1} P = \frac{4}{7} B_{1} H_{1}$ и

$P H_{1} = \frac{3}{7} B_{1} H_{1} = \frac{3}{7} .$

Точка $H_{1}$ лежит на прямой $A_{1} N_{1}$ . Четырёхугольник $A A_{1} N_{1} N$ — прямоугольник, поэтому прямая, проведённая через $H_{1}$ параллельно $A A_{1}$ , пересекает прямую $A N$ в точке $O$ , причём $O H_{1} ⊥ (A_{1} B_{1} C_{1})$ и $O H_{1} = A A_{1} = 3$ .

$O H_{1}$ — перпендикуляр к плоскости верхнего основания, $P O$ — наклонная, $P H_{1}$ — её проекция. Так как $P H_{1} ⊥ M K$ , по теореме о трёх перпендикулярах $P O ⊥ M K$ , а значит, и $P O ⊥ A N$ . Точки $P$ и $O$ лежат на прямых, содержащих основания трапеции, поэтому $P O$ — высота трапеции $A M K N$ .

Треугольник $P O H_{1}$ прямоугольный с прямым углом $H_{1}$ . По теореме Пифагора

$P O = P H_{1}^{2} + O H_{1}^{2} = \frac{9}{49} + 9 = \frac{450}{49} = \frac{15 2}{7} .$

Площадь трапеции:

$S_{A M K N} = \frac{M K + A N}{2} \cdot P O = \frac{4 + 7}{2} \cdot \frac{15 2}{7} = \frac{165 2}{14} .$

Заметим, что равенство боковых сторон трапеции для вычисления площади не понадобилось: площадь определилась основаниями и высотой.

Ответ: б) $\frac{165 2}{14}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15