В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В правильном тетраэдре $A B C D$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $M N$ и пересекает ребро $B C$ в точке $K$ .

а) Докажите, что прямая $M N$ перпендикулярна рёбрам $A B$ и $C D$ .

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A B C D$ плоскостью $α$ , если известно, что $B K = 1$ , $K C = 3$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Все грани правильного тетраэдра — правильные треугольники. В треугольниках $A B C$ и $A B D$ медианы $C M$ и $D M$ являются высотами, поэтому $C M ⊥ A B$ и $D M ⊥ A B$ .

Рисунок к решению

Прямая $A B$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $C M$ и $D M$ плоскости $C M D$ , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $A B ⊥ (C M D)$ . Точка $N$ лежит на ребре $C D$ , поэтому отрезок $M N$ лежит в плоскости $C M D$ , и $A B ⊥ M N$ .

Аналогично в треугольниках $A C D$ и $B C D$ медианы $A N$ и $B N$ — высоты: $A N ⊥ C D$ , $B N ⊥ C D$ . Значит, $C D ⊥ (A B N)$ , а так как $M N$ лежит в плоскости $A B N$ , то $C D ⊥ M N$ , что и требовалось доказать.

б) Построим плоскость $α$ . В грани $A B C$ проведём через $K$ прямую $K S ∥ A B$ , $S \in A C$ . В грани $B C D$ проведём через $K$ прямую $K T ∥ C D$ , $T \in B D$ .

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Так как $M N ⊥ A B$ и $K S ∥ A B$ , то $M N ⊥ K S$ ; так как $M N ⊥ C D$ и $K T ∥ C D$ , то $M N ⊥ K T$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $M N ⊥ (K S T)$ . Через точку $K$ проходит единственная плоскость, перпендикулярная прямой $M N$ , поэтому $α = (K S T)$ .

Сечение плоскостью α, параллельной AB и CD

Плоскость $α$ содержит прямую $K S ∥ A B$ и $K T ∥ C D$ , поэтому $A B ∥ α$ и $C D ∥ α$ . Грань $A B D$ содержит прямую $A B$ и точку $T$ плоскости $α$ , значит, $α$ пересекает её по прямой $T R ∥ A B$ , $R \in A D$ . Точки $S$ и $R$ лежат в $α$ и в грани $A C D$ , поэтому $S R$ — линия пересечения, и она параллельна $C D$ .

Сечение — четырёхугольник $K T R S$ , у которого $K S ∥ T R$ (обе параллельны $A B$ ) и $K T ∥ S R$ (обе параллельны $C D$ ). Значит, $K T R S$ — параллелограмм.

В пункте а) доказано, что $A B ⊥ (C M D)$ , а прямая $C D$ лежит в этой плоскости, поэтому $A B ⊥ C D$ . Стороны $K S$ и $K T$ параллельны $A B$ и $C D$ , значит, $K S ⊥ K T$ , и параллелограмм $K T R S$ — прямоугольник.

Ребро тетраэдра равно $B C = B K + K C = 1 + 3 = 4$ . Треугольник $B K T$ подобен треугольнику $B C D$ ( $K T ∥ C D$ ), треугольник $C K S$ подобен треугольнику $C B A$ ( $K S ∥ A B$ ):

$K T = \frac{B K}{B C} \cdot C D = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1, K S = \frac{C K}{C B} \cdot A B = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3.$

Рисунок к решению

$S_{K T R S} = K T \cdot K S = 1 \cdot 3 = 3.$

Ответ: б) $3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15