В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 32, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2024 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания $A B$ равна 32, а боковое ребро $S A$ равно 28. На рёбрах $A B$ и $S B$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $A M = 8,$ $S K = 4.$ Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $(A B C)$ и содержит точки $M$ и $K .$

a) Докажите, что плоскость $α$ содержит точку $C .$

б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Боковые рёбра правильной пирамиды равны, $S B = S A = 28$ . Из условия

$M B = 32 - 8 = 24, K B = 28 - 4 = 24.$

Пусть $H$ — центр квадрата $A B C D$ (точка пересечения диагоналей), $S H$ — высота пирамиды. В плоскости $S B D$ проведём $K O ∥ S H$ , где $O$ — точка отрезка $B H$ . Прямая, параллельная перпендикуляру к плоскости, сама перпендикулярна ей: $K O ⊥ (A B C)$ .

Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $A B C$ и проходит через точку $K$ . Перпендикуляр, опущенный из точки одной из двух перпендикулярных плоскостей на другую, лежит в первой плоскости. Значит, $K O \subset α$ и $O \in α$ . Так как $M \in α$ , плоскость $α$ пересекает основание по прямой $M O$ . Осталось доказать, что точка $C$ лежит на этой прямой.

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $S B H$ и параллельных прямых $K O$ и $S H$

$\frac{B O}{O H} = \frac{B K}{K S} = \frac{24}{4} = \frac{6}{1} .$

Пусть $O H = x$ , тогда $B O = 6 x$ , $B H = H D = 7 x$ и $O D = O H + H D = 8 x$ . Сравним треугольники $O B M$ и $O D C$ :

$\frac{B O}{O D} = \frac{6 x}{8 x} = \frac{3}{4}, \frac{B M}{D C} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4},$

а $∠ O B M = ∠ O D C$ как накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ , $C D$ и секущей $B D$ . Значит, $△ O B M \sim △ O D C$ по двум сторонам и углу между ними, и $∠ B O M = ∠ D O C$ .

Пусть луч $O C^{'}$ дополняет луч $O M$ до прямой. Тогда $∠ D O C^{'} = ∠ B O M$ как вертикальные, то есть $∠ D O C^{'} = ∠ D O C$ . Точки $C$ и $C^{'}$ лежат по одну сторону от прямой $B D$ (по другую сторону, чем $M$ ), поэтому лучи $O C$ и $O C^{'}$ совпадают. Следовательно, точки $M$ , $O$ , $C$ лежат на одной прямой, и плоскость $α$ содержит точку $C$ , что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ проходит через точки $M$ , $K$ , $C$ , лежащие на рёбрах $B A$ , $B S$ , $B C$ , выходящих из вершины $B$ . Прямая $M C$ отделяет в основании вершину $B$ от вершин $A$ и $D$ , а проекция $H$ вершины $S$ лежит на отрезке $O D$ , то есть тоже по другую сторону от $M C$ , чем $B$ . Поэтому вершина $B$ лежит по одну сторону от $α$ , а $A$ , $D$ , $S$ — по другую, и сечение пирамиды — треугольник $C K M$ .

Так как $K O ⊥ (A B C)$ , то $K O ⊥ C M$ , причём $O \in C M$ . Значит, $K O$ — высота треугольника $C K M$ :

$S_{C K M} = \frac{1}{2} \cdot C M \cdot K O .$

Угол $B$ квадрата прямой, по теореме Пифагора

$C M = B M^{2} + B C^{2} = 2 4^{2} + 3 2^{2} = 1600 = 40.$

Диагональ квадрата $A C = 322$ , значит, $A H = 162$ , $A H^{2} = 512$ . Из прямоугольного треугольника $S H A$

$S H = S A^{2} - A H^{2} = 784 - 512 = 272 = 417 .$

Треугольник $B K O$ подобен треугольнику $B S H$ ( $K O ∥ S H$ ), поэтому

$\frac{K O}{S H} = \frac{B K}{B S} = \frac{24}{28} = \frac{6}{7} \Rightarrow K O = \frac{6}{7} \cdot 417 = \frac{24 17}{7} .$

$S_{C K M} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{24 17}{7} = \frac{480 17}{7} .$

Ответ: б) $\frac{480 17}{7}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15