Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 12, а… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

Сторона основания правильной треугольной призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ равна $12$ , а её боковое ребро равно $6$ . Плоскость сечения $α$ содержит ребро $B C$ и пересекает луч $A A_{1}$ в точке $L$ . Угол, образованный плоскостями $α$ и $A B C$ , равен $6 0^{\circ}$ .

а) Докажите, что сечение призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α$ — трапеция.

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение BKPC — трапеция, точка L на луче AA₁

а) Призма правильная, значит, она прямая: боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания — правильные треугольники со стороной 12.

Сначала найдём положение точки $L$ . Пусть $M$ — середина $B C$ . В правильном треугольнике $A B C$ медиана $A M$ является высотой: $A M ⊥ B C$ . Точка $L$ лежит на прямой $A A_{1}$ , перпендикулярной плоскости $A B C$ , поэтому $L A$ — перпендикуляр к этой плоскости, $L M$ — наклонная, $A M$ — её проекция. Проекция перпендикулярна $B C$ , значит, по теореме о трёх перпендикулярах $L M ⊥ B C$ .

Таким образом, $∠ L M A$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $α$ и $A B C$ при ребре $B C$ . Он острый (острый угол прямоугольного треугольника $L A M$ ), поэтому равен углу между плоскостями: $∠ L M A = 6 0^{\circ}$ .

Рисунок к решению

Из треугольника $A B C$ и прямоугольного треугольника $L A M$ :

$A M = A B \cdot sin 6 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63, A L = A M \cdot tg 6 0^{\circ} = 63 \cdot 3 = 18.$

Так как $A L = 18 > A A_{1} = 6$ , точка $L$ лежит на продолжении ребра $A A_{1}$ за точку $A_{1}$ , и $A_{1} L = 18 - 6 = 12$ .

Построим сечение. В плоскости грани $A B B_{1} A_{1}$ отрезок $L B$ пересекает прямую $A_{1} B_{1}$ в точке $K$ . Так как $A_{1} B_{1} ∥ A B$ , треугольник $L A_{1} K$ подобен треугольнику $L A B$ :

$\frac{A _{1} K}{A B} = \frac{L A _{1}}{L A} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \Rightarrow A_{1} K = 8, K B_{1} = 12 - 8 = 4.$

Значит, $K$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ . Аналогично в грани $A C C_{1} A_{1}$ отрезок $L C$ пересекает ребро $A_{1} C_{1}$ в точке $P$ , причём $A_{1} P = 8$ , $P C_{1} = 4$ . Сечение призмы плоскостью $α$ — четырёхугольник $B K P C$ .

Плоскости оснований параллельны, а плоскость $α$ пересекает их по прямым $B C$ и $K P$ . Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны, поэтому $K P ∥ B C$ .

Треугольник $A_{1} K P$ подобен треугольнику $A_{1} B_{1} C_{1}$ по двум сторонам и углу между ними: угол $A_{1}$ общий и $\frac{A _{1} K}{A _{1} B _{1}} = \frac{A _{1} P}{A _{1} C _{1}} = \frac{2}{3}$ . Отсюда

$K P = \frac{2}{3} B_{1} C_{1} = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \neq = 12 = B C .$

Прямые $B K$ и $C P$ пересекаются в точке $L$ , то есть не параллельны. В четырёхугольнике $B K P C$ ровно одна пара параллельных сторон, значит, это трапеция, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники $B B_{1} K$ и $C C_{1} P$ равны по двум катетам: $B B_{1} = C C_{1} = 6$ , $B_{1} K = C_{1} P = 4$ . Значит, $B K = C P$ , и трапеция $B K P C$ равнобедренная. По теореме Пифагора

$B K = B B_{1}^{2} + B_{1} K^{2} = 36 + 16 = 213 .$

Проведём высоты трапеции $K K^{'}$ и $P P^{'}$ к основанию $B C$ . Тогда $K^{'} P^{'} = K P = 8$ , а из равнобедренности

$B K^{'} = P^{'} C = \frac{12 - 8}{2} = 2.$

Рисунок к решению

Из прямоугольного треугольника $B K K^{'}$ по теореме Пифагора

$K K^{'} = B K^{2} - B K^{'2} = 52 - 4 = 48 = 43 .$

Площадь трапеции:

$S_{B K P C} = \frac{K P + B C}{2} \cdot K K^{'} = \frac{8 + 12}{2} \cdot 43 = 403 .$

Ответ: б) $403$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15