В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB=3. Через точки K и C₁ проведена плоскость α… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2015 развёрнутое

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ все ребра равны 5. На его ребре $B B_{1}$ отмечена точка $K$ так, что $K B = 3.$ Через точки $K$ и $C_{1}$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $B D_{1} .$

а) Докажите, что $A_{1} P : P B_{1} = 1 : 2,$ где $P$ — точка пересечения плоскости $α$ с ребром $A_{1} B_{1} .$

б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $α .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сначала построим плоскость $α$ . Все рёбра куба равны 5, $K B = 3$ , поэтому $B_{1} K = 5 - 3 = 2$ .

Точки $B$ , $B_{1}$ и $D_{1}$ задают диагональное сечение $B B_{1} D_{1} D$ , точка $K$ лежит в этой плоскости. Проведём в ней через $K$ прямую $K N ∥ B D_{1}$ , где $N$ — точка отрезка $B_{1} D_{1}$ .

Плоскость $K C_{1} N$ содержит прямую $K N$ , параллельную $B D_{1}$ , а сама прямая $B D_{1}$ в этой плоскости не лежит (иначе плоскость содержала бы точки $B$ и $K$ , то есть всю прямую $B B_{1}$ , и совпала бы с плоскостью $B B_{1} D_{1}$ , которая не проходит через $C_{1}$ ). По признаку параллельности прямой и плоскости $B D_{1} ∥ (K C_{1} N)$ .

Прямые $K C_{1}$ и $B D_{1}$ скрещиваются, поэтому через $K C_{1}$ проходит ровно одна плоскость, параллельная $B D_{1}$ . Значит, $α = (K C_{1} N)$ .

В треугольнике $B_{1} B D_{1}$ прямая $K N$ параллельна стороне $B D_{1}$ . По теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{B _{1} N}{N D _{1}} = \frac{B _{1} K}{K B} = \frac{2}{3} .$

Точки $N$ и $C_{1}$ лежат и в плоскости $α$ , и в плоскости верхней грани, поэтому $α$ пересекает верхнюю грань по прямой $C_{1} N$ . Пусть эта прямая пересекает прямую $A_{1} B_{1}$ в точке $P$ .

Рассмотрим квадрат $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . В треугольниках $N B_{1} P$ и $N D_{1} C_{1}$ углы при вершине $N$ равны как вертикальные, а $∠ N B_{1} P = ∠ N D_{1} C_{1}$ как накрест лежащие при параллельных прямых $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$ и секущей $B_{1} D_{1}$ . Значит, $△ N B_{1} P \sim △ N D_{1} C_{1}$ по двум углам, и

$\frac{P B _{1}}{C _{1} D _{1}} = \frac{B _{1} N}{N D _{1}} = \frac{2}{3} \Rightarrow P B_{1} = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} .$

Так как $P B_{1} < A_{1} B_{1}$ , точка $P$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , и

$A_{1} P = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}, A_{1} P : P B_{1} = \frac{5}{3} : \frac{10}{3} = 1 : 2,$

что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ пересекает три ребра, выходящие из вершины $B_{1}$ : ребро $B_{1} A_{1}$ в точке $P$ , ребро $B_{1} B$ в точке $K$ и ребро $B_{1} C_{1}$ в его конце $C_{1}$ . Значит, сечение куба — треугольник $P K C_{1}$ , и плоскость отрезает от куба треугольную пирамиду $P B_{1} K C_{1}$ . Вторая часть — остальной куб.

Найдём объём пирамиды. Грани куба — квадраты, поэтому $P B_{1} ⊥ B_{1} B$ и $P B_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$ . Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна самой плоскости, значит, $P B_{1} ⊥ (B B_{1} C_{1})$ . Будем считать основанием пирамиды треугольник $B_{1} K C_{1}$ , тогда $P B_{1}$ — её высота.

Треугольник $B_{1} K C_{1}$ прямоугольный с катетами $B_{1} K = 2$ и $B_{1} C_{1} = 5$ :

$S_{B_{1} K C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5.$

$V_{P B_{1} K C_{1}} = \frac{1}{3} \cdot S_{B_{1} K C_{1}} \cdot P B_{1} = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \frac{10}{3} = \frac{50}{9} .$

Объём куба равен $5^{3} = 125$ . Отрезанная пирамида меньше половины куба, поэтому большая часть — оставшаяся:

$V = 125 - \frac{50}{9} = \frac{1075}{9} .$

Ответ: б) $\frac{1075}{9}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15