В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания а боковое ребро Точка лежит на ребре причем точка лежит на ребре причем
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Пусть — центр правильного шестиугольника . Пирамида правильная, поэтому . Пусть — точка пересечения отрезков и (диагональ проходит через центр ).
Треугольник равносторонний: , поэтому . Угол правильного шестиугольника . Прямые и при секущей образуют односторонние углы с суммой
значит, .
Треугольники и подобны по двум углам: углы при вершине вертикальные, а как накрест лежащие при параллельных прямых и . Так как , то
Боковые рёбра правильной пирамиды равны, , поэтому и
Рассмотрим треугольник . Точки и лежат на его сторонах и и делят их в одном и том же отношении, считая от . По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, .
Так как и , то . Прямая лежит в плоскости (точка лежит в ней по определению, а лежит на прямой ). Плоскость проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания, поэтому по признаку перпендикулярности плоскостей , что и требовалось доказать.
б) По пункту а) , поэтому — высота пирамиды с вершиной и основанием .
Так как , треугольник подобен треугольнику с коэффициентом . Найдём высоту пирамиды из прямоугольного треугольника , где , :
Площадь основания:
Объём пирамиды:
Ответ: б) .