В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2023 развёрнутое

В основании пирамиды $S A B C D$ лежит параллелограмм $A B C D$ . На боковых рёбрах $S A$ , $S C$ и $S D$ отмечены точки $K, L$ и $M$ соответственно так, что $S K : K A = S L : L C = 2 : 1$ и $S M = M D$ .

a) Докажите, что плоскость $K M L$ содержит точку $B$ .

б) Найдите объём пирамиды $B A K M D$ , если площадь параллелограмма $A B C D$ равна $21$ , а высота пирамиды $S A B C D$ равна $12$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение пирамиды плоскостью KML через B

а) Прямые $K M$ и $A D$ лежат в плоскости $S A D$ . Они не параллельны, так как $\frac{S K}{S A} = \frac{2}{3} \neq = \frac{1}{2} = \frac{S M}{S D}$ , поэтому пересекаются; обозначим $T = K M \cap A D$ . Аналогично прямые $L M$ и $C D$ лежат в плоскости $S C D$ и пересекаются ( $\frac{S L}{S C} = \frac{2}{3} \neq = \frac{S M}{S D}$ ); обозначим $P = L M \cap C D$ . Точки $T$ и $P$ лежат на прямых $K M$ и $L M$ , значит, принадлежат плоскости $K M L$ .

Применим теорему Менелая к треугольнику $S A D$ и прямой $T M$ , которая пересекает прямые $S A$ , $A D$ , $D S$ в точках $K$ , $T$ , $M$ :

$\frac{S K}{K A} \cdot \frac{A T}{T D} \cdot \frac{D M}{M S} = 1 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{A T}{T D} \cdot 1 = 1 \Leftrightarrow \frac{A T}{T D} = \frac{1}{2} .$

Прямая пересекает стороны $S A$ и $S D$ во внутренних точках, поэтому третью сторону $A D$ она пересекает на продолжении, и точка $T$ лежит на продолжении $D A$ за точку $A$ . Тогда $T D = T A + A D$ , и из $A T = \frac{1}{2} T D$ получаем $T A = A D$ : точка $A$ — середина $T D$ .

Точно так же по теореме Менелая для треугольника $S C D$ и прямой $P M$ :

$\frac{S L}{L C} \cdot \frac{C P}{P D} \cdot \frac{D M}{M S} = 1 \Leftrightarrow \frac{C P}{P D} = \frac{1}{2},$

и точка $C$ — середина $P D$ .

Рисунок к решению

Рассмотрим треугольник $P T D$ , лежащий в плоскости основания, и обозначим через $X$ середину его стороны $P T$ . Точка $C$ — середина стороны $P D$ , поэтому $C X$ — средняя линия треугольника: $C X ∥ D T$ и $C X = \frac{1}{2} D T$ , причём векторы сонаправлены, то есть $C X = \frac{1}{2} D T = D A$ (так как $A$ — середина $D T$ ).

Так как $A B C D$ — параллелограмм, то $C B = D A$ . Получаем $C X = C B$ , значит, $X = B$ , то есть $B$ — середина отрезка $P T$ .

Точки $P$ и $T$ лежат в плоскости $K M L$ , поэтому и вся прямая $P T$ лежит в ней. Следовательно, $B \in (K M L)$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём объём всей пирамиды:

$V_{S A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 21 \cdot 12 = 84.$

Диагональ $B D$ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому $S_{A B D} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ . Пирамиды $S A B D$ и $S A B C D$ имеют общую высоту из вершины $S$ , значит,

$V_{S A B D} = \frac{1}{2} V_{S A B C D} = 42.$

Пирамиду $S A B D$ будем рассматривать как пирамиду $B S A D$ с вершиной $B$ и основанием $S A D$ . Пирамида $B A K M D$ имеет ту же вершину $B$ , а её основание $A K M D$ лежит в той же плоскости $S A D$ . Поэтому у этих пирамид общая высота, и их объёмы относятся как площади оснований.

Рисунок к решению

Треугольники $S K M$ и $S A D$ имеют общий угол $S$ , поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$\frac{S _{S K M}}{S _{S A D}} = \frac{S K \cdot S M}{S A \cdot S D} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} .$

Четырёхугольник $A K M D$ получается из треугольника $S A D$ отрезанием треугольника $S K M$ :

$S_{A K M D} = S_{S A D} - S_{S K M} = \frac{2}{3} S_{S A D} .$

Следовательно,

$V_{B A K M D} = \frac{2}{3} V_{B S A D} = \frac{2}{3} \cdot 42 = 28.$

Ответ: б) $28$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15