ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пусть $SH$ — высота правильной пирамиды; тогда $H$ — центр основания, то есть точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Пусть $E$ — середина $AB$, тогда $CE$ — медиана основания, а $SE$ — медиана грани $SAB$. По свойству медиан

$$CH:HE=2:1,HE=\frac{1}{3}CE.$$

Отрезок $MN$ соединяет середины рёбер $SA$ и $SB$, поэтому это средняя линия треугольника $SAB$, и $MN\parallel AB$. Значит, прямая $AB$ параллельна прямой $MN$ плоскости $\alpha$, и $AB\parallel \alpha$. Плоскость основания проходит через $AB$ и пересекает $\alpha$, поэтому линия их пересечения $\ell$ параллельна $AB$.

Пусть $L$ — точка пересечения $MN$ и $SE$. Прямая $MN$ параллельна $AB$ и проходит через середину $SA$, поэтому по теореме Фалеса $L$ — середина $SE$.

Опустим из точки $L$ перпендикуляр $LQ$ на плоскость основания. Так как $\alpha \perp (ABC)$ и $L\in \alpha$, перпендикуляр $LQ$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому $Q\in \ell$. Прямые $LQ$ и $SH$ перпендикулярны одной плоскости, значит, $LQ\parallel SH$, и $LQ$ лежит в плоскости $SHE$. Следовательно, $Q$ лежит на прямой $HE$.

В треугольнике $SHE$ точка $L$ — середина $SE$ и $LQ\parallel SH$, поэтому по теореме Фалеса $Q$ — середина $HE$:

$$QE=\frac{1}{2}HE=\frac{1}{6}CE,CQ=CE-QE=\frac{5}{6}CE.$$

Прямая $\ell$ параллельна $AB$, а медиана $CE$ пересекает $AB$, поэтому $CE$ пересекает $\ell$ (а значит, и плоскость $\alpha$) ровно в одной точке — в точке $Q$. Итак, $\alpha$ делит медиану $CE$ в отношении

$$CQ:QE=\frac{5}{6}CE:\frac{1}{6}CE=5:1,$$

считая от точки $C$, что и требовалось доказать.

б) Прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$, поэтому все её точки находятся на одинаковом расстоянии от $\alpha$. Значит, расстояние от $A$ до $\alpha$ равно расстоянию от точки $E$ до $\alpha$.

Плоскости $\alpha$ и $(ABC)$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $\ell$. Медиана $CE$ правильного треугольника является высотой, поэтому $CE\perp AB$, а так как $\ell \parallel AB$, то $EQ\perp \ell$. Отрезок $EQ$ лежит в плоскости основания и перпендикулярен линии пересечения плоскостей, поэтому по свойству перпендикулярных плоскостей $EQ\perp \alpha$. Следовательно, расстояние от $E$ до $\alpha$ равно $EQ$.

Медиана правильного треугольника со стороной 36:

$$CE=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{36\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}.$$

По пункту а)

$$EQ=\frac{1}{6}CE=\frac{18\sqrt{3}}{6}=3\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $3\sqrt{3}$.