В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона AB основания… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2016 развёрнутое

В правильной четырехугольной пирамиде $S A B C D$ сторона $A B$ основания равна $23,$ а высота $S O$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ — середины ребер $C D$ и $A B$ соответственно. Отрезок $N K$ — высота пирамиды $N S C D$ с вершиной $N$ и основанием $S C D .$

а) Докажите, что точка $K$ является серединой отрезка $S M .$

б) Найдите расстояние между прямыми $N K$ и $S C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пирамида правильная, поэтому $S C = S D$ , и в равнобедренном треугольнике $S C D$ медиана $S M$ является высотой: $S M ⊥ C D$ . Отрезок $N M$ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому $N M ∥ A D$ , а значит, $N M ⊥ C D$ .

Прямые $S M$ и $N M$ пересекаются и лежат в плоскости $S M N$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C D ⊥ (S M N)$ .

Проведём в плоскости $S M N$ перпендикуляр $N K^{'}$ к прямой $S M$ . Так как $C D ⊥ (S M N)$ , то $C D ⊥ N K^{'}$ . Получаем, что $N K^{'}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $S M$ и $C D$ плоскости $(S C D)$ , то есть $N K^{'} ⊥ (S C D)$ . Из точки $N$ на плоскость можно опустить только один перпендикуляр, поэтому $K^{'} = K$ , и точка $K$ лежит на прямой $S M$ .

Найдём стороны треугольника $S M N$ . Точка $O$ — середина $N M$ , $O M = O N = \frac{1}{2} A D = 3$ . Из прямоугольных треугольников $S O M$ и $S O N$

$S M = S N = S O^{2} + O M^{2} = 9 + 3 = 23 .$

Кроме того, $N M = A D = 23$ . Значит, треугольник $S M N$ равносторонний. В равностороннем треугольнике высота $N K$ является и медианой, поэтому $K$ — середина отрезка $S M$ , что и требовалось доказать.

б) Прямая $N K$ перпендикулярна плоскости $(S C D)$ и пересекает её в точке $K$ , не лежащей на $S C$ . Поэтому прямые $N K$ и $S C$ скрещиваются.

Проведём в плоскости $S C D$ перпендикуляр $K L$ к прямой $S C$ , $L \in S C$ . Так как $N K ⊥ (S C D)$ , то $N K ⊥ K L$ . Значит, отрезок $K L$ перпендикулярен обеим прямым $N K$ и $S C$ , то есть это их общий перпендикуляр, и расстояние между прямыми равно $K L$ .

Найдём $S C$ из прямоугольного треугольника $S M C$ ( $S M ⊥ C D$ ), где $S M = 23$ , $M C = \frac{1}{2} C D = 3$ :

$S C = S M^{2} + M C^{2} = 12 + 3 = 15 .$

Прямоугольные треугольники $S L K$ и $S M C$ имеют общий острый угол при вершине $S$ , поэтому они подобны, и

$\frac{K L}{M C} = \frac{S K}{S C} .$

Так как $S K = \frac{1}{2} S M = 3$ , получаем

$K L = \frac{M C \cdot S K}{S C} = \frac{3 \cdot 3}{15} = \frac{3}{15} = \frac{15}{5} .$

Ответ: б) $\frac{15}{5}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15