В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2024 развёрнутое

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ основание $A B C D$ является прямоугольником со сторонами $6$ и $8$ , диагонали которого пересекаются в точке $O$ . Плоскость, содержащая диагональ $A C$ и параллельная прямой $B_{1} D$ , пересекает ребро $B B_{1}$ в точке $K$ . Угол между плоскостями $(A B C)$ и $(A C K)$ равен $4 5^{\circ}$ .

а) Докажите, что угол $K O B$ меньше $4 5^{\circ}$ .

б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Точка $O$ лежит на $A C$ , то есть в плоскости $(A C K)$ , и на $B D$ , то есть в плоскости $B B_{1} D_{1} D$ . Точка $K$ лежит на ребре $B B_{1}$ , то есть тоже в обеих плоскостях. Значит, плоскости $(A C K)$ и $(B B_{1} D)$ пересекаются по прямой $O K$ .

Плоскость $(B B_{1} D)$ проходит через прямую $B_{1} D$ , параллельную плоскости $(A C K)$ , поэтому линия пересечения этих плоскостей параллельна $B_{1} D$ :

$O K ∥ B_{1} D .$

Диагонали прямоугольника $A B C D$ точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O$ — середина $B D$ . В треугольнике $B B_{1} D$ прямая $O K$ проходит через середину стороны $B D$ параллельно $D B_{1}$ , значит, по теореме Фалеса $K$ — середина $B B_{1}$ .

Сечение ACK, угол KTB

Построим линейный угол двугранного угла между плоскостями $(A B C)$ и $(A C K)$ . Пусть $B T$ — высота треугольника $A B C$ , $T \in A C$ . Параллелепипед прямоугольный, поэтому $B K ⊥ (A B C)$ , и $B T$ — проекция наклонной $K T$ на плоскость основания. Так как $B T ⊥ A C$ , по теореме о трёх перпендикулярах $K T ⊥ A C$ . Плоскости пересекаются по прямой $A C$ , поэтому $∠ K T B$ — линейный угол, и

$∠ K T B = 4 5^{\circ} .$

В прямоугольном треугольнике $K B T$ острый угол равен $4 5^{\circ}$ , значит, он равнобедренный: $B K = B T$ .

Найдём $B T$ . По теореме Пифагора в треугольнике $A B C$

$A C = A B^{2} + B C^{2} = 36 + 64 = 10.$

Запишем площадь треугольника $A B C$ двумя способами: $\frac{1}{2} A B \cdot B C = \frac{1}{2} A C \cdot B T$ , откуда

$B T = \frac{A B \cdot B C}{A C} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8, B K = 4, 8.$

Диагонали прямоугольника равны, поэтому $B D = A C = 10$ и $B O = 5$ .

Треугольник $K B O$ прямоугольный ( $B K ⊥ (A B C)$ , значит, $B K ⊥ B O$ ), поэтому

$tg ∠ K O B = \frac{B K}{B O} = \frac{4 , 8}{5} = 0, 96 < 1 = tg 4 5^{\circ} .$

Рисунок к решению

Угол $K O B$ острый, а тангенс возрастает на промежутке $(0^{\circ}; 9 0^{\circ})$ , поэтому $∠ K O B < 4 5^{\circ}$ , что и требовалось доказать.

б) Так как $K$ — середина $B B_{1}$ , то $B B_{1} = 2 B K = 9, 6$ . Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

$V = A B \cdot B C \cdot B B_{1} = 6 \cdot 8 \cdot 9, 6 = 460, 8.$

Ответ: б) $460, 8$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15