ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Так как $KLMN$ — квадрат, то

$$KN\parallel LM,KL\parallel NM,KL=KN=3.$$

Докажем, что $KN\parallel AB$. Точки $L$ и $M$ лежат на рёбрах $AD$ и $BD$, поэтому прямая $LM$ лежит в плоскости $(ABD)$. Прямая $KN$ параллельна $LM$ и не лежит в плоскости $(ABD)$ (точка $K$ лежит на $AC$ и отлична от $A$). По признаку параллельности прямой и плоскости $KN\parallel (ABD)$.

Плоскость $(ABC)$ проходит через прямую $KN$ и пересекает плоскость $(ABD)$ по прямой $AB$. Значит, линия пересечения параллельна $KN$:

$$KN\parallel AB.$$

Точно так же докажем, что $KL\parallel CD$. Прямая $NM$ лежит в плоскости $(BCD)$, а $KL\parallel NM$ и $KL$ не лежит в $(BCD)$, поэтому $KL\parallel (BCD)$. Плоскость $(ACD)$ проходит через $KL$ и пересекает $(BCD)$ по прямой $CD$, значит,

$$KL\parallel CD.$$

Так как $KL\parallel CD$, треугольники $AKL$ и $ACD$ подобны (углы при вершине $A$ общие, соответственные углы равны), и

$$\frac{KL}{CD}=\frac{AK}{AC}=\frac{3}{10}\Rightarrow KL=0,3CD.$$

Так как $KN\parallel AB$, треугольники $CKN$ и $CAB$ подобны, и

$$\frac{KN}{AB}=\frac{CK}{CA}=\frac{7}{10}\Rightarrow KN=0,7AB.$$

Стороны квадрата равны, $KL=KN$, поэтому

$$0,3CD=0,7AB\iff \frac{AB}{CD}=\frac{0,3}{0,7}=\frac{3}{7},$$

то есть $AB:CD=3:7$, что и требовалось доказать.

б) Диагональ $LN$ делит квадрат $KLMN$ на два равных треугольника $KLN$ и $MLN$. Пирамиды $CKLN$ и $CMLN$ имеют общую вершину $C$, общую высоту (расстояние от $C$ до плоскости квадрата) и равные площади оснований, поэтому их объёмы равны и

$$V_{CKLMN}=V_{CKLN}+V_{CMLN}=2V_{CKLN}.$$

Пирамиду $CKLN$ будем рассматривать как пирамиду с вершиной $L$ и основанием $CKN$, лежащим в плоскости $(ABC)$.

Площадь основания. Треугольники $CKN$ и $CAB$ подобны с коэффициентом $\frac{7}{10}$, а площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$S_{CKN}={\left(\frac{7}{10}\right)}^2{S}_{ABC}=0,49S_{ABC}.$$

Высота. Из подобия треугольников $AKL$ и $ACD$ получаем $\frac{AL}{AD}=\frac{AK}{AC}=\frac{3}{10}$. Опустим перпендикуляры $DH$ и $L{H}_1$ на плоскость $(ABC)$. Они параллельны (перпендикулярны одной плоскости), поэтому лежат в одной плоскости $ADH$, и точка $H_1$ лежит на прямой $AH$. Прямоугольные треугольники $AL{H}_1$ и $ADH$ подобны (угол при вершине $A$ общий), значит,

$$\frac{L{H}_1}{DH}=\frac{AL}{AD}=\frac{3}{10},L{H}_1=0,3DH.$$

Тогда

$$V_{CKLN}=\frac{1}{3}\cdot S_{CKN}\cdot L{H}_1=\frac{1}{3}\cdot 0,49S_{ABC}\cdot 0,3DH=0,147\cdot \frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot DH=0,147V_{ABCD}.$$

Так как $V_{ABCD}=100$, то $V_{CKLN}=14,7$ и

$$V_{CKLMN}=2\cdot 14,7=29,4.$$

Ответ: б) $29,4$.