Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2018 развёрнутое

Дана правильная четырехугольная пирамида $M A B C D,$ все ребра которой равны 12. Точка $N$ — середина бокового ребра $M A,$ точка $K$ делит боковое ребро $M B$ в отношении $2 : 1,$ считая от вершины $M .$

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $A D,$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Обозначим через $α$ плоскость, проходящую через $N$ и $K$ параллельно $A D$ .

Плоскость грани $M A D$ проходит через прямую $A D$ , параллельную $α$ , и имеет с $α$ общую точку $N$ . Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит, $α$ пересекает грань $M A D$ по прямой, проходящей через $N$ параллельно $A D$ . Пусть она пересекает ребро $M D$ в точке $F$ : $N F ∥ A D$ .

Основание правильной пирамиды — квадрат, поэтому $B C ∥ A D ∥ N F$ , то есть $B C$ параллельна прямой $N F$ плоскости $α$ , и $B C ∥ α$ . Плоскость грани $M B C$ проходит через $B C$ и имеет с $α$ общую точку $K$ , поэтому, как и выше, $α$ пересекает эту грань по прямой $K E ∥ B C$ , где $E \in M C$ .

Отрезки $N K$ , $K E$ , $E F$ , $F N$ лежат в гранях $M A B$ , $M B C$ , $M C D$ , $M D A$ , поэтому сечение — четырёхугольник $N K E F$ . Так как $N F ∥ A D$ и $K E ∥ B C ∥ A D$ , то $N F ∥ K E$ .

Найдём эти отрезки. В треугольнике $M A D$ точка $N$ — середина $M A$ и $N F ∥ A D$ , поэтому $N F$ — средняя линия:

$M F = F D = 6, N F = \frac{1}{2} A D = 6.$

В треугольнике $M B C$ прямая $K E$ параллельна $B C$ , поэтому $△ M K E \sim △ M B C$ с коэффициентом $\frac{M K}{M B} = \frac{2}{3}$ :

$M E = M K = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8, K E = \frac{2}{3} B C = 8.$

В четырёхугольнике $N K E F$ стороны $N F$ и $K E$ параллельны, но не равны ( $6 \neq = 8$ ). Значит, две другие стороны не параллельны (иначе это был бы параллелограмм и $N F = K E$ ), и $N K E F$ — трапеция с основаниями $N F$ и $K E$ .

Докажем, что боковые стороны равны. Все рёбра пирамиды равны 12, поэтому боковые грани — равносторонние треугольники и $∠ N M K = ∠ F M E = 6 0^{\circ}$ . Треугольники $N M K$ и $F M E$ равны по двум сторонам и углу между ними: $M N = M F = 6$ , $M K = M E = 8$ . Следовательно, $N K = F E$ , и трапеция $N K E F$ равнобедренная, что и требовалось доказать.

б) Найдём боковую сторону трапеции из треугольника $N M K$ по теореме косинусов:

$N K^{2} = M N^{2} + M K^{2} - 2 \cdot M N \cdot M K \cdot cos 6 0^{\circ} = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 52.$

Проведём высоту трапеции $N H$ на основание $K E$ . В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований:

$K H = \frac{K E - N F}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1.$

Из прямоугольного треугольника $N H K$ по теореме Пифагора

$N H = N K^{2} - K H^{2} = 52 - 1 = 51 .$

Площадь трапеции:

$S = \frac{N F + K E}{2} \cdot N H = \frac{6 + 8}{2} \cdot 51 = 751 .$

Ответ: б) $751$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15