В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что 2A₁M=3MA… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $2 A_{1} M = 3 M A,$ $A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$

a) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α,$ если все рёбра призмы равны 20.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Точки $M$ и $K$ лежат в грани $A B B_{1} A_{1}$ , поэтому прямая $M K$ лежит в плоскости $(A B B_{1})$ . Плоскость $α$ проходит через $M K$ и перпендикулярна $(A B B_{1})$ , значит, эти плоскости пересекаются именно по прямой $M K$ .

Докажем, что $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ . Призма правильная, поэтому $A_{1} B_{1} C_{1}$ — равносторонний треугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Точка $K$ — середина $A_{1} B_{1}$ , значит, $C_{1} K$ — медиана равностороннего треугольника, а потому и его высота:

$C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1} .$

Так как $A A_{1} ⊥ (A_{1} B_{1} C_{1})$ , а прямая $C_{1} K$ лежит в этой плоскости, то $C_{1} K ⊥ A A_{1}$ .

Прямые $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ лежат в плоскости $(A B B_{1})$ и пересекаются. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$C_{1} K ⊥ (A B B_{1}) .$

Теперь проведём в плоскости $α$ через точку $K$ прямую $K P ⊥ M K$ . Плоскости $α$ и $(A B B_{1})$ перпендикулярны, а прямая $K P$ лежит в одной из них и перпендикулярна их линии пересечения $M K$ . По свойству перпендикулярных плоскостей $K P ⊥ (A B B_{1})$ .

Но через точку $K$ проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости $(A B B_{1})$ . Значит, прямая $K P$ совпадает с прямой $K C_{1}$ . Следовательно, прямая $K C_{1}$ лежит в плоскости $α$ , и плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1}$ , что и требовалось доказать.

б) По пункту а) плоскость $α$ — это плоскость $(M K C_{1})$ . Отрезки $M K$ , $K C_{1}$ и $C_{1} M$ лежат соответственно в гранях $A B B_{1} A_{1}$ , $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A A_{1} C_{1} C$ , поэтому сечение призмы плоскостью $α$ — треугольник $M K C_{1}$ .

В пункте а) доказано, что $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ . Прямая $M K$ лежит в этой плоскости, поэтому $C_{1} K ⊥ M K$ , и треугольник $M K C_{1}$ прямоугольный с прямым углом при вершине $K$ . Его площадь

$S = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot C_{1} K .$

Найдём катеты. Из условия $2 A_{1} M = 3 M A$ и $A_{1} M + M A = A A_{1} = 20$ получаем

$A_{1} M = \frac{3}{5} \cdot 20 = 12, M A = 8.$

Кроме того, $A_{1} K = K B_{1} = 10$ . Треугольник $M A_{1} K$ прямоугольный ( $A A_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ ), по теореме Пифагора

$M K^{2} = A_{1} M^{2} + A_{1} K^{2} = 144 + 100 = 244, M K = 261 .$

Из прямоугольного треугольника $C_{1} A_{1} K$ ( $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ ) по теореме Пифагора

$C_{1} K^{2} = C_{1} A_{1}^{2} - A_{1} K^{2} = 400 - 100 = 300, C_{1} K = 103 .$

Тогда

$S = \frac{1}{2} \cdot 261 \cdot 103 = 10183 .$

Ответ: б) $10183$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15