ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

а) Призма правильная, поэтому её основания — правильные треугольники, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований.

Пусть $K$ — середина ребра $A_1{B}_1$. В правильном треугольнике $A_1{B}_1{C}_1$ медиана $C_{1}K$ является высотой: $C_{1}K\perp A_1{B}_1$. Ребро $A{A}_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания, поэтому $A{A}_1\perp C_{1}K$. Прямые $A_1{B}_1$ и $A{A}_1$ пересекаются и лежат в грани $AB{B}_1{A}_1$, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_{1}K\perp (AB{B}_1{A}_1)$.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна грани $AB{B}_1{A}_1$ и содержит точку $C_1$. Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр, проведённый из точки одной плоскости к другой, лежит в первой. Перпендикуляр из $C_1$ к грани $AB{B}_1{A}_1$ единственный — это $C_{1}K$, поэтому $C_{1}K$ лежит в $\alpha$ и $K\in \alpha$.

Ребро $A_1{B}_1$ не лежит в $\alpha$: иначе $\alpha$ содержала бы $A_1{B}_1$ и $C_1$, то есть совпадала бы с плоскостью верхнего основания, а точка $M$ в ней не лежит. Значит, $\alpha$ пересекает ребро $A_1{B}_1$ ровно в точке $K$ — его середине. Что и требовалось доказать.

б) Пусть все рёбра призмы равны $a$. Из условия $AM=2M{A}_1$ получаем $A_{1}M=\frac{a}{3}$, а по пункту а) $A_{1}K=\frac{a}{2}$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $K$, $C_1$, лежащие на трёх рёбрах, выходящих из вершины $A_1$. Отрезки $MK$, $K{C}_1$, $C_{1}M$ лежат в гранях $AB{B}_1{A}_1$, $A_1{B}_1{C}_1$, $A{A}_1{C}_{1}C$ и образуют замкнутую ломаную, поэтому сечение — треугольник $MK{C}_1$: плоскость отсекает от призмы пирамиду $A_{1}MK{C}_1$.

Прямая $C_{1}K$ перпендикулярна грани $AB{B}_1{A}_1$, а значит, и прямой $MK$ этой грани. Треугольник $MK{C}_1$ прямоугольный с прямым углом $K$.

Треугольник $M{A}_{1}K$ прямоугольный с прямым углом $A_1$, по теореме Пифагора

$$MK=\sqrt{A_1{M}^2+A_1{K}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{9}+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{13a^2}{36}}=\frac{a\sqrt{13}}{6}.$$

Высота правильного треугольника со стороной $a$ равна $C_{1}K=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Площадь сечения равна половине произведения катетов:

$$S_{MK{C}_1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{13}}{6}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{39}}{24}.$$

По условию площадь сечения равна $\sqrt{39}$:

$$\frac{a^2\sqrt{39}}{24}=\sqrt{39}\Rightarrow a^2=24\Rightarrow a=2\sqrt{6}.$$

Высота прямой призмы равна её боковому ребру, то есть $2\sqrt{6}$.

Ответ: б) $2\sqrt{6}$.