В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и .
а) Докажите, что плоскость содержит точку .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Пирамида правильная, поэтому в основании лежит квадрат , высота опускается в его центр — точку пересечения диагоналей, а все боковые рёбра равны: . Из условия
Опустим перпендикуляр на плоскость основания. Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точку . Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр, проведённый к одной из них из точки другой, лежит в этой другой плоскости. Поэтому лежит в , и .
Прямые и перпендикулярны одной плоскости, значит, параллельны. Поэтому лежит в плоскости , а точка — на отрезке . Треугольники и подобны по двум углам, поэтому
Диагональ квадрата , поэтому и
Значит, .
Пусть прямая пересекает сторону в точке . Треугольники и подобны: углы и равны как вертикальные, а углы и — как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Поэтому
Точки и лежат на стороне и , значит, , и точки , , лежат на одной прямой.
Точки и принадлежат плоскости , поэтому вся прямая лежит в , а вместе с ней и точка . Что и требовалось доказать.
б) Плоскость содержит точки , , . Отрезок лежит в основании, — в грани , — в грани , и они образуют замкнутую ломаную на поверхности пирамиды. Прямая отделяет вершину от остальных вершин основания, поэтому сечение — треугольник .
Прямая перпендикулярна плоскости основания, поэтому , а точка лежит на . Значит, — высота треугольника :
Треугольник прямоугольный с прямым углом , по теореме Пифагора
Из прямоугольного треугольника находим высоту пирамиды:
Из подобия треугольников и
Площадь сечения:
Ответ: б) .