ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пирамида правильная, поэтому её высота $SO$ опускается в центр $O$ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Большие диагонали делят шестиугольник на шесть равных правильных треугольников со стороной $2$; в частности, $OA=OC=2$.

Треугольники $OAB$ и $OBC$ правильные, поэтому $\angle ABO=\angle BOC=60^{\circ }$. Это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $FC$ и секущей $OB$, значит, $AB\parallel FC$. Точно так же $ED\parallel FC$, и точки $M$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $FC$.

Медиана $OM$ правильного треугольника $OAB$ является высотой: $OM\perp AB$, а значит, $OM\perp FC$, и $OM=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$. Пусть $D^{\prime }$ — основание высоты $D{D}^{\prime }$ правильного треугольника $OCD$; это середина $OC$, поэтому $O{D}^{\prime }=D^{\prime }C=1$ и $D{D}^{\prime }=\sqrt{3}$.

Пусть отрезок $MD$ пересекает прямую $FC$ в точке $K^{\prime }$. Прямоугольные треугольники $MO{K}^{\prime }$ и $D{D}^{\prime }{K}^{\prime }$ равны: у них равны катеты $OM=D{D}^{\prime }=\sqrt{3}$ и острые углы $M{K}^{\prime }O$ и $D{K}^{\prime }{D}^{\prime }$ (вертикальные). Поэтому

$$M{K}^{\prime }=K^{\prime }D,O{K}^{\prime }=K^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{1}{2}.$$

Итак, $K^{\prime }$ — середина $MD$ и лежит на отрезке $OC$.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания и содержит точку $K$, поэтому перпендикуляр $K{K}_0$ из $K$ на основание лежит в $\alpha$, и $K_0$ лежит на линии пересечения $\alpha$ с основанием — прямой $MD$. С другой стороны, точка $K$ лежит на ребре $SC$, а плоскость $SOC$ содержит высоту $SO$ и потому перпендикулярна основанию; значит, $K_0$ лежит на прямой $OC$. Прямые $MD$ и $FC$ пересекаются в единственной точке $K^{\prime }$, поэтому $K_0=K^{\prime }$, то есть $K{K}^{\prime }\perp (ABC)$.

Прямоугольные треугольники $K{K}^{\prime }M$ и $K{K}^{\prime }D$ имеют общий катет $K{K}^{\prime }$ и равные катеты $K^{\prime }M=K^{\prime }D$. Они равны по двум катетам, следовательно, $KM=KD$. Что и требовалось доказать.

б) Основание пирамиды $CDKM$ — треугольник $CDM$ в плоскости основания, высота — отрезок $K{K}^{\prime }$.

Найдём высоту исходной пирамиды из прямоугольного треугольника $SOA$:

$$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{64-4}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}.$$

Точка $K^{\prime }$ лежит на $OC$, $C{K}^{\prime }=OC-O{K}^{\prime }=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. В треугольнике $SOC$ прямая $K{K}^{\prime }$ параллельна $SO$, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{K{K}^{\prime }}{SO}=\frac{C{K}^{\prime }}{CO}=\frac{3/2}{2}=\frac{3}{4}\Rightarrow K{K}^{\prime }=\frac{3}{4}\cdot 2\sqrt{15}=\frac{3\sqrt{15}}{2}.$$

Отрезок $C{K}^{\prime }$ делит треугольник $CDM$ на треугольники $C{K}^{\prime }M$ и $C{K}^{\prime }D$ с общим основанием $C{K}^{\prime }=\frac{3}{2}$. Их высоты, проведённые к прямой $FC$, — это $MO=\sqrt{3}$ и $D{D}^{\prime }=\sqrt{3}$. Поэтому

$$S_{CDM}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Объём пирамиды:

$$V_{CDKM}=\frac{1}{3}\cdot S_{CDM}\cdot K{K}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{15}}{2}=\frac{9\sqrt{45}}{12}=\frac{27\sqrt{5}}{12}=\frac{9\sqrt{5}}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{9\sqrt{5}}{4}$.