Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, при этом… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2026 развёрнутое

Основанием правильной треугольной пирамиды $P A B C$ является треугольник $A B C,$ при этом $A P = 1, 3 A B .$ Через точку $A$ перпендикулярно апофеме грани $B C P$ проведена плоскость $α .$

а) Докажите, что плоскость $α$ делит апофему грани $B C P$ в отношении $119 : 25,$ считая от точки $P .$

б) Найдите угол между прямой $A C$ и плоскостью $α .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пирамида правильная, поэтому в основании лежит правильный треугольник $A B C$ , вершина $P$ проектируется в его центр $H$ , а боковые рёбра равны. Пусть $A B = a$ , тогда $P A = P B = P C = 1, 3 a$ .

Пусть $A_{1}$ — середина $B C$ . Треугольник $P B C$ равнобедренный, поэтому медиана $P A_{1}$ является высотой, $P A_{1} ⊥ B C$ — это апофема грани $B C P$ . Медиана $A A_{1}$ правильного треугольника тоже высота: $A A_{1} ⊥ B C$ ; центр $H$ лежит на ней и делит её в отношении $A H : H A_{1} = 2 : 1$ .

Построим плоскость $α$ . В плоскости $P A A_{1}$ опустим перпендикуляр $A O$ на прямую $P A_{1}$ , а через точку $O$ в плоскости $P B C$ проведём $M N ∥ B C$ ( $M \in P B$ , $N \in P C$ ). Так как $B C ⊥ P A_{1}$ , то и $M N ⊥ P A_{1}$ . Прямая $P A_{1}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A O$ и $M N$ , поэтому $P A_{1} ⊥ (A M N)$ . Через точку $A$ проходит единственная плоскость, перпендикулярная прямой $P A_{1}$ , значит, $α = (A M N)$ , и она пересекает апофему в точке $O$ . Докажем, что $P O : O A_{1} = 119 : 25$ .

Найдём нужные отрезки:

$A A_{1} = \frac{a 3}{2}, H A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1} = \frac{a 3}{6},$

$P A_{1} = P B^{2} - B A_{1}^{2} = 1, 69 a^{2} - 0, 25 a^{2} = 1, 44 a^{2} = 1, 2 a .$

Пусть $φ = ∠ A A_{1} P$ . Треугольник $P H A_{1}$ прямоугольный с прямым углом $H$ ( $P H$ — высота пирамиды), поэтому $cos φ = \frac{H A _{1}}{P A _{1}}$ . Треугольник $A O A_{1}$ прямоугольный с прямым углом $O$ , поэтому $cos φ = \frac{O A _{1}}{A A _{1}}$ . Приравняем:

$O A_{1} = \frac{A A _{1} \cdot H A _{1}}{P A _{1}} = \frac{\frac{a 3}{2} \cdot \frac{a 3}{6}}{1 , 2 a} = \frac{a ^{2} /4}{6 a /5} = \frac{5 a}{24} .$

Так как $O A_{1} = \frac{5 a}{24} < 1, 2 a = P A_{1}$ , точка $O$ лежит на самой апофеме, и

$P O = P A_{1} - O A_{1} = \frac{6 a}{5} - \frac{5 a}{24} = \frac{144 a - 25 a}{120} = \frac{119 a}{120}, O A_{1} = \frac{25 a}{120} .$

Значит, $P O : O A_{1} = 119 : 25$ . Что и требовалось доказать.

б) Прямая $B C$ параллельна прямой $M N$ плоскости $α$ и не лежит в $α$ , поэтому $B C ∥ α$ . Все точки прямой, параллельной плоскости, находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.

Проведём через точку $C$ прямую $C K ∥ P A_{1}$ , $K \in α$ . Прямая, параллельная перпендикуляру к плоскости, сама перпендикулярна этой плоскости, поэтому $C K ⊥ α$ , и $C K$ — расстояние от $C$ до $α$ . Отрезок $A_{1} O$ лежит на прямой $P A_{1} ⊥ α$ , поэтому $A_{1} O$ — расстояние от $A_{1}$ до $α$ . Точки $C$ и $A_{1}$ лежат на прямой $B C$ , параллельной $α$ , значит,

$C K = A_{1} O = \frac{5 a}{24} .$

Отрезок $A K$ — проекция наклонной $A C$ на плоскость $α$ , а угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией. Поэтому искомый угол $μ = ∠ C A K$ . Треугольник $C K A$ прямоугольный с прямым углом $K$ , и

$sin μ = \frac{C K}{A C} = \frac{5 a /24}{a} = \frac{5}{24} \Rightarrow μ = arcsin \frac{5}{24} .$

Ответ: б) $arcsin \frac{5}{24}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15