В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы сложная развёрнутое

В основании прямой призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $A B C$ с основанием $A B$ . Точка $P$ делит ребро $A B$ в отношении $A P : P B = 1 : 3$ , а точка $Q$ — середина ребра $A_{1} C_{1}$ .
Через середину $M$ ребра $B C$ провели плоскость $α$ , перпендикулярную отрезку $P Q$ .

а) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $A C$ пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит ребро $A_{1} C_{1}$ , считая от точки $A_{1}$ , если известно, что $A B = A A_{1}$ , $A B : B C = 2 : 5$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение плоскостью α через M, перпендикулярной PQ

а) Пусть $T$ — середина $A B$ , $N$ — середина $A C$ . Треугольник $A B C$ равнобедренный с основанием $A B$ , поэтому его медиана $C T$ является высотой: $C T ⊥ A B$ .

Пусть $A P = x$ , тогда $P B = 3 x$ , $A B = 4 x$ и $A T = 2 x$ , $P T = A T - A P = x$ . Значит, $P$ — середина $A T$ . В треугольнике $A T C$ точки $P$ и $N$ — середины сторон $A T$ и $A C$ , поэтому $P N$ — средняя линия: $P N ∥ T C$ , а значит, $P N ⊥ A B$ .

Боковая грань $A A_{1} C_{1} C$ прямой призмы — прямоугольник, а $N$ и $Q$ — середины его противоположных сторон $A C$ и $A_{1} C_{1}$ . Поэтому $N Q ∥ A A_{1}$ , и, так как $A A_{1} ⊥ (A B C)$ , то $N Q ⊥ (A B C)$ . Значит, $N$ — проекция точки $Q$ на плоскость основания, а $P N$ — проекция наклонной $P Q$ .

Точки $M$ и $N$ — середины сторон $B C$ и $A C$ , поэтому $M N$ — средняя линия треугольника $A B C$ и $M N ∥ A B$ . Отсюда $M N ⊥ P N$ . Прямая $M N$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $P N$ наклонной $P Q$ , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $M N ⊥ P Q$ .

Рисунок к решению

В плоскости $P N Q$ проведём $N H ⊥ P Q$ , $H \in P Q$ . Прямая $P Q$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $M N$ и $N H$ плоскости $M N H$ , поэтому по признаку $P Q ⊥ (M N H)$ . Через точку $M$ проходит только одна плоскость, перпендикулярная прямой $P Q$ , значит, $α$ совпадает с плоскостью $M N H$ . Следовательно, $N \in α$ , то есть плоскость $α$ проходит через середину ребра $A C$ . Что и требовалось доказать.

б) По условию $A B = A A_{1} = 4 x$ и $A B : B C = 2 : 5$ , поэтому $B C = A C = 10 x$ .

По теореме Пифагора в треугольнике $A T C$

$C T = A C^{2} - A T^{2} = 100 x^{2} - 4 x^{2} = 46 x,$

поэтому $P N = \frac{1}{2} C T = 26 x$ . Кроме того, $N Q = A A_{1} = 4 x$ .

Пусть $P_{1}$ — проекция точки $P$ на плоскость верхнего основания; она лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , и $A_{1} P_{1} = A P = x$ . Отрезки $P P_{1}$ и $N Q$ параллельны и равны, а $P N ⊥ N Q$ , поэтому $P N Q P_{1}$ — прямоугольник и $P_{1} Q = P N = 26 x$ . Плоскость $α$ пересекает плоскость этого прямоугольника по прямой $N H$ . Пусть $N H$ пересекает отрезок $P_{1} Q$ в точке $S$ .

В прямоугольном треугольнике $P N Q$ отрезок $N H$ — высота, проведённая к гипотенузе. Треугольник $N QS$ прямоугольный с прямым углом $Q$ (угол прямоугольника). Его угол $QN S$ дополняет угол $N Q H$ до $9 0^{\circ}$ , как и угол $N P Q$ в треугольнике $P N Q$ . Значит, $∠ QN S = ∠ N P Q$ , и прямоугольные треугольники $N QS$ и $P N Q$ подобны по острому углу:

$\frac{QS}{N Q} = \frac{N Q}{P N} \Rightarrow QS = \frac{N Q ^{2}}{P N} = \frac{16 x ^{2}}{2 6 x} = \frac{4 6}{3} x .$

Отсюда

$\frac{QS}{Q P _{1}} = \frac{4 6 x /3}{2 6 x} = \frac{2}{3} .$

Плоскость $α$ пересекает нижнее основание по прямой $M N ∥ A B$ . Плоскости оснований параллельны, поэтому верхнее основание $α$ пересекает по прямой, параллельной $M N$ , то есть параллельной $A_{1} B_{1}$ . Эта прямая проходит через точку $S$ (она лежит и в $α$ , и в верхнем основании) и пересекает ребро $A_{1} C_{1}$ в точке $R$ . Итак, $R S ∥ A_{1} P_{1}$ .

Рисунок к решению

В треугольнике $Q A_{1} P_{1}$ отрезок $R S$ параллелен стороне $A_{1} P_{1}$ . По теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{QR}{Q A _{1}} = \frac{QS}{Q P _{1}} = \frac{2}{3} .$

Точка $Q$ — середина $A_{1} C_{1}$ , поэтому $Q A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 10 x = 5 x$ и $QR = \frac{10}{3} x$ . Тогда

$A_{1} R = Q A_{1} - QR = 5 x - \frac{10}{3} x = \frac{5}{3} x, R C_{1} = A_{1} C_{1} - A_{1} R = 10 x - \frac{5}{3} x = \frac{25}{3} x .$

Значит, $A_{1} R : R C_{1} = \frac{5}{3} x : \frac{25}{3} x = 1 : 5$ .

Ответ: б) $1 : 5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15