В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точки M и K — середины рёбер AB и SD соответственно. а) Докажите, что прямая MK… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $A B$ и $S D$ соответственно.

а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $S B C .$

б) Найдите высоту пирамиды $S A B C D,$ если $A B = 6,$ а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $6 0^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $N$ — середина ребра $S C$ . Точки $K$ и $N$ — середины сторон $S D$ и $S C$ треугольника $S D C$ , поэтому $K N$ — его средняя линия:

$K N ∥ D C, K N = \frac{1}{2} D C .$

Основание пирамиды — квадрат, поэтому $D C ∥ A B$ и $D C = A B$ . Точка $M$ — середина $A B$ , значит, $M B = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C$ . Получаем $K N ∥ M B$ и $K N = M B$ .

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм. Значит, $M B N K$ — параллелограмм, и $M K ∥ B N$ .

Прямая $B N$ лежит в плоскости $S B C$ , а прямая $M K$ в этой плоскости не лежит (точка $M$ не принадлежит плоскости $S B C$ ). По признаку параллельности прямой и плоскости $M K ∥ (S B C)$ . Что и требовалось доказать.

б) Пирамида правильная, поэтому её высота $S O$ опускается в точку $O$ пересечения диагоналей квадрата.

Опустим перпендикуляр $K H$ на плоскость основания. Прямые $K H$ и $S O$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны; значит, $K H$ лежит в плоскости $S O D$ , и точка $H$ лежит на отрезке $O D$ . Точка $K$ — середина $S D$ , поэтому $K H$ — средняя линия треугольника $S O D$ :

$K H = \frac{1}{2} S O, H — середина O D .$

Отрезок $M H$ — проекция наклонной $M K$ на плоскость основания. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией, поэтому $∠ K M H = 6 0^{\circ}$ .

Найдём $M H$ из треугольника $M O H$ в плоскости основания. Точки $O$ и $M$ — середины $B D$ и $A B$ , поэтому $O M$ — средняя линия треугольника $A B D$ : $O M ∥ A D$ и $O M = \frac{1}{2} A D = 3$ . Значит, $O M ⊥ A B$ , и в равнобедренном прямоугольном треугольнике $A O B$ отрезок $O M$ — биссектриса прямого угла: $∠ A O M = 4 5^{\circ}$ . Диагонали квадрата перпендикулярны, $∠ A O D = 9 0^{\circ}$ , поэтому

$∠ M O H = ∠ M O A + ∠ A O D = 4 5^{\circ} + 9 0^{\circ} = 13 5^{\circ} .$

Диагональ квадрата $B D = 62$ , поэтому $O D = 32$ и $O H = \frac{1}{2} O D = \frac{3 2}{2}$ . По теореме косинусов в треугольнике $M O H$

$M H^{2} = O M^{2} + O H^{2} - 2 \cdot O M \cdot O H \cdot cos 13 5^{\circ} = 9 + \frac{9}{2} - 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 2}{2} \cdot (- \frac{2}{2}) = 9 + \frac{9}{2} + 9 = \frac{45}{2} .$

Отсюда

$M H = \frac{45}{2} = \frac{3 5}{2} = \frac{3 10}{2} .$

Треугольник $K H M$ прямоугольный с прямым углом $H$ , поэтому

$K H = M H \cdot tg 6 0^{\circ} = \frac{3 10}{2} \cdot 3 = \frac{3 30}{2} .$

Высота пирамиды вдвое больше средней линии $K H$ :

$S O = 2 K H = 330 .$

Ответ: б) $330$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15