ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD=BC=4\sqrt{2}$. Проверим треугольники $SAB$ и $SAD$:

$$S{A}^2+A{B}^2=49+576=625=25^2=S{B}^2,$$

$$S{A}^2+A{D}^2=49+32=81=9^2=S{D}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные с прямыми углами при вершине $A$. Значит, $SA\perp AB$ и $SA\perp AD$.

Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются и лежат в плоскости основания. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $SA\perp (ABC)$, то есть $SA$ — высота пирамиды. Что и требовалось доказать.

б) Проведём в треугольнике $SAB$ высоту $AH$ к стороне $SB$.

Прямая $BC$ перпендикулярна $AB$, так как $ABCD$ — прямоугольник, и перпендикулярна $SA$, так как $SA$ перпендикулярна плоскости основания и любой прямой в ней. Прямые $AB$ и $SA$ пересекаются, поэтому по признаку $BC\perp (SAB)$. Прямая $AH$ лежит в плоскости $SAB$, значит, $BC\perp AH$.

Итак, $AH\perp SB$ по построению и $AH\perp BC$. Прямые $SB$ и $BC$ пересекаются и лежат в плоскости $SBC$, поэтому $AH\perp (SBC)$, и длина $AH$ — искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$.

Выразим площадь прямоугольного треугольника $SAB$ двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой:

$$\frac{1}{2}\cdot SA\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot SB\cdot AH\Rightarrow AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{7\cdot 24}{25}=\frac{168}{25}=6,72.$$

Ответ: б) $6,72$.