Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной 5√2, высота… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2015 развёрнутое

Основанием прямой четырёхугольной призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ является квадрат $A B C D$ со стороной $52,$ высота призмы равна $214 .$ Точка $K$ — середина ребра $B B_{1} .$ Через точки $K$ и $C_{1}$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $B D_{1} .$

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ является равнобедренный треугольник.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $α .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Точка $K$ и прямая $B D_{1}$ лежат в плоскости диагонального сечения $B B_{1} D_{1} D$ . В треугольнике $B B_{1} D_{1}$ проведём через $K$ прямую $K L ∥ B D_{1}$ , где $L$ лежит на $B_{1} D_{1}$ . Точка $K$ — середина $B B_{1}$ , поэтому по теореме Фалеса $L$ — середина $B_{1} D_{1}$ , а $K L$ — средняя линия треугольника.

Плоскость $α$ параллельна прямой $B D_{1}$ и содержит точку $K$ . Прямая, проведённая через точку плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости, лежит в плоскости. Значит, прямая $K L$ лежит в $α$ , и $L \in α$ .

Основание $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — квадрат, его диагонали $A_{1} C_{1}$ и $B_{1} D_{1}$ точкой пересечения делятся пополам. Поэтому середина $L$ диагонали $B_{1} D_{1}$ — это точка пересечения диагоналей, и она лежит на $A_{1} C_{1}$ . Плоскость $α$ содержит точки $C_{1}$ и $L$ , а значит, и всю прямую $C_{1} L$ , то есть прямую $A_{1} C_{1}$ . Поэтому $A_{1} \in α$ .

Итак, $α$ проходит через точки $A_{1}$ , $K$ , $C_{1}$ . Отрезок $A_{1} C_{1}$ лежит в верхнем основании, $C_{1} K$ — в грани $B B_{1} C_{1} C$ , $K A_{1}$ — в грани $A A_{1} B_{1} B$ ; они образуют замкнутую ломаную на поверхности призмы. Значит, сечение призмы плоскостью $α$ — треугольник $A_{1} K C_{1}$ .

Призма прямая, поэтому ребро $B B_{1}$ перпендикулярно плоскости верхнего основания, а значит, и прямым $B_{1} A_{1}$ и $B_{1} C_{1}$ . Треугольники $A_{1} B_{1} K$ и $C_{1} B_{1} K$ прямоугольные с прямым углом $B_{1}$ . Их катеты $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} B_{1}$ равны как стороны квадрата, а катет $B_{1} K$ общий. Треугольники равны по двум катетам, поэтому $A_{1} K = C_{1} K$ , и треугольник $A_{1} K C_{1}$ равнобедренный. Что и требовалось доказать.

б) Диагональ квадрата в $2$ раз больше его стороны:

$A_{1} C_{1} = 52 \cdot 2 = 10.$

Точка $K$ — середина ребра $B B_{1}$ , длина которого равна высоте призмы, поэтому $B_{1} K = \frac{2 14}{2} = 14$ . По теореме Пифагора в треугольнике $A_{1} B_{1} K$

$A_{1} K = A_{1} B_{1}^{2} + B_{1} K^{2} = (52)^{2} + (14)^{2} = 50 + 14 = 8.$

По пункту а) $C_{1} K = A_{1} K = 8$ . Периметр сечения:

$P_{A_{1} K C_{1}} = A_{1} C_{1} + A_{1} K + C_{1} K = 10 + 8 + 8 = 26.$

Ответ: б) $26$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15