В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 16, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2024 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания $A B$ равна 16, а боковое ребро $S A$ равно 14. На рёбрах $A B$ и $S B$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $A M = 4,$ $S K = 2.$ Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $(A B C)$ и содержит точки $M$ и $K .$

a) Докажите, что плоскость $α$ содержит точку $C .$

б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пирамида правильная, поэтому в основании лежит квадрат $A B C D$ , высота $S O$ опускается в его центр $O$ — точку пересечения диагоналей, а все боковые рёбра равны: $S B = S A = 14$ . Из условия

$M B = A B - A M = 16 - 4 = 12, K B = S B - S K = 14 - 2 = 12.$

Опустим из точки $K$ перпендикуляр $K H$ на плоскость основания. Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $(A B C)$ и содержит точку $K$ . Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр, проведённый к одной из них из точки другой, лежит в этой другой плоскости. Поэтому $K H$ лежит в $α$ , и $H \in α$ .

Прямые $K H$ и $S O$ перпендикулярны одной плоскости, значит, они параллельны. Поэтому $K H$ лежит в плоскости $S B O$ , то есть в плоскости $S B D$ , и точка $H$ лежит на отрезке $B O$ . По теореме о пропорциональных отрезках для угла $S B O$

$\frac{B H}{B O} = \frac{B K}{B S} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} .$

Диагональ квадрата $B D = 162$ , поэтому $B O = 82$ и

$B H = \frac{6}{7} \cdot 82 = \frac{48 2}{7}, H D = B D - B H = 162 - \frac{48 2}{7} = \frac{64 2}{7} .$

Значит, $B H : H D = 48 : 64 = 3 : 4$ .

Проведём прямую $C H$ ; она пересекает сторону $A B$ в некоторой точке $M^{'}$ . Треугольники $B H M^{'}$ и $D H C$ подобны: углы $B H M^{'}$ и $D H C$ равны как вертикальные, а углы $H B M^{'}$ и $H D C$ — как накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ и $C D$ и секущей $B D$ . Поэтому

$\frac{B M ^{'}}{D C} = \frac{B H}{H D} = \frac{3}{4} \Rightarrow B M^{'} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12.$

Получили $B M^{'} = B M = 12$ , и обе точки лежат на стороне $A B$ , поэтому $M^{'} = M$ . Значит, точки $M$ , $H$ , $C$ лежат на одной прямой.

Точки $M$ и $H$ принадлежат плоскости $α$ , поэтому и вся прямая $M H$ лежит в $α$ . Точка $C$ лежит на этой прямой, следовательно, $C \in α$ . Что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ содержит точки $M$ , $K$ , $C$ . Отрезок $M C$ лежит в основании, $C K$ — в грани $S B C$ , $K M$ — в грани $S A B$ ; они образуют замкнутую ломаную на поверхности пирамиды. Значит, сечение — треугольник $M K C$ .

Прямая $K H$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому $K H ⊥ M C$ , а точка $H$ лежит на $M C$ . Значит, $K H$ — высота треугольника $M K C$ , и

$S_{M K C} = \frac{1}{2} \cdot M C \cdot K H .$

Треугольник $M B C$ прямоугольный с прямым углом $B$ , по теореме Пифагора

$M C = M B^{2} + B C^{2} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 20.$

Найдём высоту пирамиды. Диагональ $A C = 162$ , поэтому $A O = 82$ . Из прямоугольного треугольника $S O A$

$S O = S A^{2} - A O^{2} = 196 - 128 = 68 = 217 .$

Треугольники $B K H$ и $B S O$ подобны ( $K H ∥ S O$ ), поэтому

$K H = \frac{B K}{B S} \cdot S O = \frac{6}{7} \cdot 217 = \frac{12 17}{7} .$

Площадь сечения:

$S_{M K C} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{12 17}{7} = \frac{120 17}{7} .$

Ответ: б) $\frac{120 17}{7}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15