Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярно прямой BD₁. a) Докажите… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2025 развёрнутое

Плоскость $α$ проходит через середину ребра $A D$ прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ перпендикулярно прямой $B D_{1} .$

a) Докажите, что угол между плоскостью $α$ и плоскостью $(A B C)$ равен углу между прямыми $B B_{1}$ и $B_{1} D .$

б) Найдите угол между плоскостью $α$ и плоскостью $(A B C),$ если объём параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равен $485,$ $A B = 25$ и $A D = 4.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Параллелепипед прямоугольный, поэтому его боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований: $B B_{1} ⊥ (A B C)$ . По условию $B D_{1} ⊥ α$ .

Угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому угол между плоскостями $α$ и $(A B C)$ равен углу между прямыми $B D_{1}$ и $B B_{1}$ . Остаётся доказать, что он равен углу между прямыми $B B_{1}$ и $B_{1} D$ .

Рассмотрим четырёхугольник $B B_{1} D_{1} D$ . Рёбра $B B_{1}$ и $D D_{1}$ параллельны и равны, значит, это параллелограмм. Кроме того, $B B_{1} ⊥ B D$ , так как $B B_{1}$ перпендикулярно плоскости основания и любой прямой в ней. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Диагонали прямоугольника $B D_{1}$ и $B_{1} D$ равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $O B = O B_{1}$ . Треугольник $B O B_{1}$ равнобедренный, и углы при его основании равны:

$∠ O B B_{1} = ∠ O B_{1} B, то есть ∠ D_{1} B B_{1} = ∠ D B_{1} B .$

Оба эти угла острые: $∠ D_{1} B B_{1}$ — острый угол прямоугольного треугольника $B B_{1} D_{1}$ (прямой угол при $B_{1}$ ), $∠ D B_{1} B$ — острый угол прямоугольного треугольника $B_{1} B D$ (прямой угол при $B$ ). Поэтому угол между прямыми $B B_{1}$ и $B D_{1}$ равен $∠ D_{1} B B_{1}$ , угол между прямыми $B B_{1}$ и $B_{1} D$ равен $∠ D B_{1} B$ , и эти углы равны.

Значит, угол между плоскостью $α$ и плоскостью $(A B C)$ равен углу между прямыми $B B_{1}$ и $B_{1} D$ . Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) искомый угол равен углу $B B_{1} D$ .

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: $V = A B \cdot A D \cdot A A_{1}$ . Отсюда

$A A_{1} = \frac{V}{A B \cdot A D} = \frac{48 5}{2 5 \cdot 4} = 6.$

Параллельные рёбра прямоугольного параллелепипеда равны, поэтому $B B_{1} = A A_{1} = 6$ .

Основание $A B C D$ — прямоугольник, треугольник $B A D$ прямоугольный с прямым углом $A$ . По теореме Пифагора

$B D = A B^{2} + A D^{2} = (25)^{2} + 4^{2} = 20 + 16 = 6.$

Треугольник $B_{1} B D$ прямоугольный с прямым углом $B$ (ребро $B B_{1}$ перпендикулярно основанию). Его катеты равны: $B B_{1} = B D = 6$ . Значит,

$tg ∠ B B_{1} D = \frac{B D}{B B _{1}} = 1 \Rightarrow ∠ B B_{1} D = 4 5^{\circ} .$

Ответ: б) $4 5^{\circ}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15