В прямоугольном параллелепипеде ACBDA₁B₁C₁D₁ известно, что… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2024 развёрнутое

В прямоугольном параллелепипеде $A C B D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B = 3, A D = 4, A A_{1} = 6$ . Через точки $B_{1}$ и $D$ параллельно $A C$ проведена плоскость, пересекающая ребро $C C_{1}$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $K$ — середина $C C_{1}$ .

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение через B₁ и D параллельно AC

а) Обозначим плоскость сечения через $φ$ . Она параллельна прямой $A C$ и проходит через $D$ , поэтому прямая, проходящая через $D$ параллельно $A C$ , лежит в $φ$ . Проведём её в плоскости основания; она пересекает прямую $B C$ в точке $T$ .

В четырёхугольнике $A C T D$ стороны $A D$ и $C T$ параллельны (лежат на параллельных прямых $A D$ и $B C$ ), стороны $A C$ и $D T$ тоже параллельны. Значит, $A C T D$ — параллелограмм, и

$C T = A D = 4 = B_{1} C_{1} .$

Точка $T$ лежит на продолжении $B C$ за точку $C$ , причём $B C = C T = 4$ .

Рисунок к решению

Точки $B_{1}$ и $T$ лежат в $φ$ и в плоскости грани $B C C_{1} B_{1}$ , поэтому прямая $B_{1} T$ лежит в обеих плоскостях. Точка $C$ лежит между $B$ и $T$ , поэтому отрезок $B_{1} T$ пересекает ребро $C C_{1}$ — это и есть точка $K$ .

Рассмотрим треугольники $K C T$ и $K C_{1} B_{1}$ :

$∠ K C T = ∠ K C_{1} B_{1} = 9 0^{\circ}$ , так как грань $B C C_{1} B_{1}$ — прямоугольник;
$C T = C_{1} B_{1} = 4$ ;
$∠ K T C = ∠ K B_{1} C_{1}$ как накрест лежащие при параллельных прямых $B T$ , $B_{1} C_{1}$ и секущей $B_{1} T$ .

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому $C K = K C_{1}$ , то есть $K$ — середина $C C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Прямая $B T$ пересекает плоскость $φ$ в точке $T$ , а $C$ — середина $B T$ . Опустим из $B$ и $C$ перпендикуляры на $φ$ ; получатся подобные прямоугольные треугольники с общим углом при вершине $T$ , поэтому расстояния от $B$ и $C$ до $φ$ относятся как $T B : T C = 2 : 1$ :

$ρ (B; φ) = 2 ρ (C; φ) .$

Найдём расстояние от $C$ . Из пункта а) $C K = \frac{1}{2} C C_{1} = 3$ , кроме того $C D = A B = 3$ и $C T = 4$ . Плоскость $φ$ проходит через точки $T$ , $K$ , $D$ .

Прямая $C T$ (это прямая $B C$ ) перпендикулярна $C D$ , так как $A B C D$ — прямоугольник, и перпендикулярна $C K$ , так как ребро $C C_{1}$ перпендикулярно основанию. Значит, $C T ⊥ (C K D)$ .

Треугольник $C K D$ прямоугольный и равнобедренный ( $C K = C D = 3$ ). Проведём $C P ⊥ K D$ ; в равнобедренном треугольнике высота является медианой, а медиана к гипотенузе равна её половине:

$K D = 32, C P = \frac{1}{2} K D = \frac{3 2}{2} .$

Прямая $K D$ перпендикулярна $C P$ и $C T$ (так как $C T ⊥ (C K D)$ ), то есть двум пересекающимся прямым плоскости $T C P$ . Значит, $K D ⊥ (T C P)$ .

Треугольник $T C P$ прямоугольный с прямым углом $C$ ( $C T ⊥ (C K D)$ , а $C P$ лежит в этой плоскости). Проведём в нём высоту $C H ⊥ T P$ . Прямая $C H$ лежит в плоскости $T C P$ , поэтому $C H ⊥ K D$ . Итак, $C H$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $T P$ и $K D$ плоскости $T K D$ , то есть $C H ⊥ φ$ и $C H = ρ (C; φ)$ .

Рисунок к решению

По теореме Пифагора в треугольнике $T C P$ :

$T P = C T^{2} + C P^{2} = 16 + \frac{9}{2} = \frac{41}{2} = \frac{82}{2} .$

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$C H = \frac{C T \cdot C P}{T P} = \frac{4 \cdot \frac{3 2}{2}}{\frac{82}{2}} = \frac{12 2}{82} = \frac{12}{41} .$

Проверим по формуле для тетраэдра $C K T D$ с тремя попарно перпендикулярными рёбрами при вершине $C$ : $\frac{1}{C H ^{2}} = \frac{1}{C K ^{2}} + \frac{1}{C T ^{2}} + \frac{1}{C D ^{2}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{9} = \frac{41}{144}$ , откуда $C H = \frac{12}{41}$ .

Тогда

$ρ (B; φ) = 2 \cdot \frac{12}{41} = \frac{24}{41} .$

Ответ: б) $\frac{24}{41}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15