ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего (с точками $A$ и $B$) и верхнего оснований, $O{O}_1$ — ось цилиндра. Проведём образующую $C_{1}C$, где точка $C$ лежит на окружности нижнего основания.

Образующие и ось перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому $C{C}_1\parallel O{O}_1$. Через две параллельные прямые проходит плоскость $C{C}_1{O}_{1}O$. Отрезок $A{C}_1$ пересекает ось в точке $X$. Обе точки $C_1$ и $X$ лежат в плоскости $C{C}_1{O}_{1}O$, поэтому в ней лежит вся прямая $A{C}_1$, а значит, и точка $A$.

Плоскость $C{C}_1{O}_{1}O$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $CO$, и точка $A$ лежит на этой прямой. Хорда $AC$ проходит через центр $O$, поэтому $AC$ — диаметр нижнего основания.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }$, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$, то есть $AB\perp CB$.

Отрезок $C_{1}B$ — наклонная к плоскости нижнего основания, а $CB$ — её проекция, так как $C_{1}C\perp$ плоскости основания. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $CB$. По теореме о трёх перпендикулярах $AB\perp C_{1}B$, то есть $\angle AB{C}_1=90^{\circ }$. Что и требовалось доказать.

б) Образующие $B{B}_1$ и $C{C}_1$ равны, параллельны и перпендикулярны плоскости основания, поэтому $C{C}_1{B}_{1}B$ — прямоугольник. Отсюда

$$BC=B_1{C}_1=32.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$$AC=\sqrt{B{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1024+576}=\sqrt{1600}=40.$$

Отрезок $AC$ — диаметр, поэтому радиус основания $R=20$. Образующая $B{B}_1$ перпендикулярна основаниям, значит, она равна высоте цилиндра: $h=11$.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{бок}}=2\pi Rh=2\pi \cdot 20\cdot 11=440\pi .$$

Ответ: б) $440\pi$.