ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего (с точками $A$ и $B$) и верхнего оснований, $O{O}_1$ — ось цилиндра. Проведём образующую $C_{1}C$, где $C$ лежит на окружности нижнего основания.

Образующие и ось перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому $C{C}_1\parallel O{O}_1$, и через эти параллельные прямые проходит плоскость $C{C}_1{O}_{1}O$. Отрезок $A{C}_1$ пересекает ось в некоторой точке $X$. Точки $C_1$ и $X$ лежат в плоскости $C{C}_1{O}_{1}O$, значит, в ней лежит вся прямая $A{C}_1$, в том числе точка $A$.

Плоскость $C{C}_1{O}_{1}O$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $CO$. Точка $A$ лежит в обеих плоскостях, поэтому лежит на прямой $CO$. Хорда $AC$ проходит через центр $O$, то есть $AC$ — диаметр.

Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$ и $AB\perp BC$.

Образующая $C{C}_1$ перпендикулярна плоскости нижнего основания, поэтому $C{C}_1\perp AB$. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $C{C}_1$ плоскости $BC{C}_1$, значит, $AB\perp (BC{C}_1)$. Тогда $AB$ перпендикулярна и прямой $B{C}_1$ этой плоскости, то есть $\angle AB{C}_1=90^{\circ }$. Что и требовалось доказать.

б) Образующие $B{B}_1$ и $C{C}_1$ равны и параллельны, поэтому $B{B}_1{C}_{1}C$ — параллелограмм, а так как $B{B}_1\perp BC$, — прямоугольник. Значит,

$$BC=B_1{C}_1=21.$$

Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$, по теореме Пифагора

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29.$$

Диаметр основания $d=AC=29$, высота цилиндра $h=B{B}_1=15$ (образующая перпендикулярна основаниям). Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh=\pi dh=\pi \cdot 29\cdot 15=435\pi .$$

Ответ: б) $435\pi$.