В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M=2AM… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A_{1} M = 2 A M,$ $A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α,$ если все ребра призмы равны 20.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Призма правильная, поэтому её основание $A_{1} B_{1} C_{1}$ — правильный треугольник. Точка $K$ — середина $A_{1} B_{1}$ , значит, $C_{1} K$ — медиана, а в правильном треугольнике медиана является высотой: $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ .

Правильная призма прямая, поэтому $A A_{1} ⊥ (A_{1} B_{1} C_{1})$ , а значит, $A A_{1} ⊥ C_{1} K$ .

Прямая $C_{1} K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ плоскости $A B B_{1}$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ .

Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $A B B_{1}$ и содержит точку $K$ этой плоскости. Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, перпендикулярная одной из них и проходящая через точку другой, лежит в этой другой плоскости. Прямая $K C_{1}$ проходит через $K \in α$ и перпендикулярна плоскости $A B B_{1}$ , поэтому $K C_{1} \subset α$ . Значит, плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ проходит через точки $M$ , $K$ , $C_{1}$ , лежащие на рёбрах $A_{1} A$ , $A_{1} B_{1}$ , $A_{1} C_{1}$ , выходящих из одной вершины $A_{1}$ . Она отсекает от призмы тетраэдр $A_{1} M K C_{1}$ , и сечение — треугольник $M K C_{1}$ .

Прямая $C_{1} K$ перпендикулярна плоскости $A B B_{1}$ , поэтому перпендикулярна и прямой $M K$ , лежащей в этой плоскости. Треугольник $M K C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $K$ , и его площадь

$S = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot C_{1} K .$

Все рёбра призмы равны $20$ . Точка $K$ — середина $A_{1} B_{1}$ , поэтому $A_{1} K = 10$ . Из $A_{1} M = 2 A M$ получаем $A_{1} M = \frac{2}{3} \cdot 20 = \frac{40}{3}$ .

Треугольник $M A_{1} K$ прямоугольный ( $A A_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ ), по теореме Пифагора

$M K = A_{1} M^{2} + A_{1} K^{2} = \frac{1600}{9} + 100 = \frac{2500}{9} = \frac{50}{3} .$

Треугольник $A_{1} K C_{1}$ прямоугольный ( $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ ), по теореме Пифагора

$C_{1} K = A_{1} C_{1}^{2} - A_{1} K^{2} = 400 - 100 = 300 = 103 .$

Площадь сечения:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{50}{3} \cdot 103 = \frac{250 3}{3} .$

Ответ: б) $\frac{250 3}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15