В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 2√23, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2026 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна $223,$ а боковое ребро $S A$ равно 12. На рёбрах $A B$ и $S C$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $A K : K B = S M : M C = 1 : 5.$ Плоскость $α$ содержит прямую $K M$ и параллельна прямой $B C .$

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A .$

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $S B C .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Плоскость $α$ параллельна прямой $B C$ , поэтому прямая, проходящая через любую точку $α$ параллельно $B C$ , лежит в $α$ .

Проведём в плоскости $A B C$ через $K$ прямую $K N ∥ B C$ ( $N$ на $A C$ ), а в плоскости $S B C$ через $M$ прямую $M L ∥ B C$ ( $L$ на $S B$ ). Обе прямые лежат в $α$ , и сечение пирамиды плоскостью $α$ — четырёхугольник $K N M L$ .

Так как $K N ∥ B C$ , по теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{A N}{N C} = \frac{A K}{K B} = \frac{1}{5} .$

Значит, $\frac{C N}{C A} = \frac{5}{6}$ . По условию $S M : M C = 1 : 5$ , то есть $\frac{C M}{C S} = \frac{5}{6}$ . Треугольники $C N M$ и $C A S$ имеют общий угол $C$ и пропорциональные прилежащие стороны, поэтому подобны. Отсюда $∠ C N M = ∠ C A S$ — соответственные углы при прямых $N M$ , $A S$ и секущей $A C$ , значит, $N M ∥ A S$ .

Прямая $N M$ лежит в $α$ . Прямая $S A$ не лежит в $α$ : иначе $α$ содержала бы параллельные прямые $S A$ и $N M$ и совпала бы с плоскостью $A S C$ , но точка $K \in α$ лежит внутри ребра $A B$ и в плоскости $A S C$ не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости $S A ∥ α$ . Что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ пересекает плоскость $S B C$ по прямой $M L$ .

Пусть $H$ — середина $B C$ . Треугольник $A B C$ правильный, поэтому медиана $A H$ является высотой: $A H ⊥ B C$ . Треугольник $S B C$ равнобедренный, его медиана $S H$ тоже высота: $S H ⊥ B C$ . Прямая $B C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $A S H$ , значит, $B C ⊥ (A S H)$ , а так как $M L ∥ B C$ , то и $M L ⊥ (A S H)$ .

Пусть $A H$ пересекает $K N$ в точке $R$ , а $S H$ пересекает $M L$ в точке $P$ . Точки $R$ и $P$ лежат в $α$ и в плоскости $A S H$ , поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $P R$ . Плоскость $A S H$ проходит через прямую $S A$ , параллельную $α$ , поэтому $P R ∥ S A$ .

Прямые $P R$ и $P H$ лежат в плоскости $A S H$ , а $M L ⊥ (A S H)$ , поэтому $P R ⊥ M L$ и $P H ⊥ M L$ . При этом $P R$ лежит в $α$ , $P H$ — в плоскости $S B C$ , а $P$ — на линии их пересечения $M L$ . Значит, $∠ R P H$ — линейный угол двугранного угла между $α$ и $S B C$ .

Так как $P R ∥ S A$ , углы $R P H$ и $A S H$ равны как соответственные при параллельных прямых $P R$ , $S A$ и секущей $S H$ . Найдём угол $A S H$ из треугольника $A S H$ .

В правильном треугольнике $A B C$ : $H C = \frac{1}{2} B C = 23$ , по теореме Пифагора в треугольнике $A H C$

$A H = A C^{2} - H C^{2} = 92 - 23 = 69 .$

В треугольнике $S H B$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ):

$S H = S B^{2} - H B^{2} = 144 - 23 = 121 = 11.$

По теореме косинусов в треугольнике $A S H$ :

$cos ∠ A S H = \frac{A S ^{2} + S H ^{2} - A H ^{2}}{2 \cdot A S \cdot S H} = \frac{144 + 121 - 69}{2 \cdot 12 \cdot 11} = \frac{196}{264} = \frac{49}{66} .$

Косинус положителен, угол острый, поэтому он и есть угол между плоскостями.

Ответ: б) $arccos \frac{49}{66}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15